Formulario Calcolo numerico

Interpolazione polinomiale

Concetti di base

Per calcolare un polinomio interpolante, consideriamo una funzione \( f(x) \) definita su un insieme di nodi distinti \( x_0, x_1, \ldots, x_n \). L'obiettivo è trovare un polinomio \( P(x) \) di grado \( n \) che soddisfi la condizione \( P(x_i) = f(x_i) \) per ogni \( i \).

Polinomio di Lagrange

La formulazione di Lagrange del polinomio interpolante è definita come:

• Definire le basi \( L_j(x) \) per \( j = 0, \ldots, n \) con:
  \( L_j(x) = \prod_{\substack{0 \leq m \leq n \\ m \neq j}} \frac{x - x_m}{x_j - x_m} \).

Il polinomio interpolante è quindi dato da: \( P_n(x) = \sum_{j=0}^{n} f(x_j) L_j(x) \).

Polinomio di Newton

Un'altra formulazione utilizza le differenze divise. La formula del polinomio di Newton è:

\( P_n(x) = f[x_0] + (x - x_0)f[x_0,x_1] + \cdots + (x - x_0)(x - x_1)\cdots(x - x_{n-1})f[x_0, x_1, \ldots, x_n] \).

Tavola delle differenze divise

Per costruire il polinomio si utilizzano le differenze divise, calcolate come:

• \( f[x_i] = f(x_i) \)
• \( f[x_i, x_{i+1}] = \frac{f(x_{i+1}) - f(x_i)}{x_{i+1} - x_i} \)
• \( f[x_i, x_{i+1}, \ldots, x_{i+k}] = \frac{f[x_{i+1}, \ldots, x_{i+k}] - f[x_i, \ldots, x_{i+k-1}]}{x_{i+k} - x_i} \)

Errore di interpolazione

L'errore nell'interpolazione è dato dalla formula:

\( E(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \prod_{i=0}^{n}(x - x_i) \) dove \( \xi \) è un punto nell'intervallo di interpolazione.

Spline interpolanti

Le spline sono utilizzate per l'interpolazione su intervalli divisi in segmenti. Una spline di grado \( n \) è un polinomio che:

• Ha continuità fino alla derivata \( n-1 \)
• Passa attraverso i nodi dati

Conclusioni

Le tecniche di interpolazione polinomiale, sia tramite la formula di Lagrange che di Newton, e l'uso delle spline, sono fondamentali per l'approssimazione di funzioni su insiemi di dati discreti. Ogni metodo ha le sue specificità e viene scelto in base alle esigenze di precisione e continuità richieste dall'applicazione.