Appunti Calcolo Numerico (formulario)

ARITMETICA

RAPPRESENTAZIONE FLOATING-POINT:

a = (-1)^s p N^q

s ∈ {0,1}

N^-1 ≤ p < 1 con t cifre dopo la virgola

L ≤ q ≤ U               L < 0                 U > 0

p: mantissa                 q: esponente o caratteristica

NUMERI DI MACCHINA:

numeri con mantissa ed esponente esattamente rappresentabili negli spazi a loro riservati dal calcolatore

Più piccolo numero positivo rappresentabile:          m = 0.100...0 N^l

REGIONE DI UNDERFLOW:

insieme dei numeri reali diversi da zero appartenenti a (-m, m)

Più grande numero positivo rappresentabile:          M = 0.N1...N-1 N^u

REGIONE DI OVERFLOW:

insieme dei numeri appartenenti a (-∞, -M) ∪ (M, +∞)

ARROTONDAMENTO "ROUNDING TO EVEN":

la mantissa p viene approssimata con la mantissa di macchina p̅

più vicina e se p è equidistante da due mantisse di macchina

consecutive allora p̅ viene approssimata con quella delle due

che ha l’ultima cifra pari.

ERRORE ASSOLUTO:

_ea = | x - x̅ |          (x̅: approssimazione di x)

ERRORE RELATIVO:

_er = ^{| x - x̅ |}/_{| x |}      x ≠ 0

EPSILON DI MACCHINA:

eps = N^1-t

PRECISIONE DI MACCHINA:

_em = ¹/₂ N^1-t

(massimo errore relativo)

ARITMETICA

RAPPRESENTAZIONE FLOATING-POINT:

a=(-1)^s p N^q

s ∈ {0,1}

N^-1 ≤ p < 1 con t cifre dopo la virgola

L ≤ q ≤ U L < 0 e U > 0

p: mantissa q: esponente o caratteristica

NUMERI DI MACCHINA:

numeri con mantissa ed esponente esattamente rappresentabili negli spazi a loro riservati dal calcolatore

Più piccolo numero positivo rappresentabile: m = 0.10...0 N^L t cifre

REGIONE DI UNDERFLOW:

insieme dei numeri reali diversi da zero appartenenti a (-m, m)

Più grande numero positivo rappresentabile: M = 0.N1...N_T-1.N_T t cifre

REGIONE DI OVERFLOW:

insieme dei numeri appartenenti a (-∞, -M) ∪ (M, +∞)

ARROTONDAMENTO "ROUNDING TO EVEN":

la mantissa p viene approssimata con la mantissa di macchina più vicina e se p è equidistante da due mantisse di macchina consecutivo allora, p viene approssimata con quella delle due che ha l'ultima cifra pari.

• ERRORE ASSOLUTO: e_a = |x - x̃| (x̃: approssimazione di x)
• ERRORE RELATIVO: e_r = |x - x̃| / |x| * x ≠ 0
• EPSILON DI MACCHINA: eps = N^1-t
• PRECISIONE DI MACCHINA: ε_m = 1/2 N^1-t (massimo errore relativo)

RELAZIONE TRA ē₁ E α:

ē₁ = α(1 + ε)

|ε| ≤ ε_m

OPERAZIONE DI MACCHINA ⊙:

associa a due numeri di macchina un terzo numero di macchina, ottenuto arrotondando l'esatto risultato dell'operazione in questione.

Due quantità ē₁ ed ē₂ sono EQUIVALENTI NELL'ARITMETICA DEL CALCOLATORE quando

^{|ē₁ - ē₂|}/_|ē2|

è dell'ordine della precisione di macchina ε_m o minore.

CANCELLAZIONE NUMERICA:

a_q = (-1)^s₁ṗ₁N^q₁

ā_q = (-1)^ṡ₁ṗ̅₁N^q̅₁

a₂ = (-1)^s₂ṗ₂N^q₂

ā₂ = (-1)^ṡ₂ṗ̅₂N^q̅₂

La CANCELLAZIONE NUMERICA consiste in una perdita di cifre della mantissa e si verifica quando si esegue l'operazione di sottrazione fra due rappresentazioni di macchina ā_q ed ā₂ dello stesso segno circa uguali e almeno una delle quali sia affetta dall'errore di arrotondamento, cioè quando:

• s₁ = s₂
• q₁ = q₂
• ṗ̅₂ = ṗ̅₁
• q̅₂ = q̅₁ /= ṗ̅₂ ≠ ṗ₂

CONDIZIONAMENTO DI UN PROBLEMA NUMERICO

PROBLEMA NUMERICO:

relazione funzionale f tra i dati x (INPUT) e i risultati y (OUTPUT).

• ESPLICITO: y = f(x)
• IMPLICITO: f(x, y) = 0

Un problema numerico è BEN CONDIZIONATO se l'errore relativo associato a ẏ è dello stesso ordine di grandezza dell'errore relativo associato a x̅ o m