Appunti Calcolo Numerico (formulario)

ARITMETICA

RAPPRESENTAZIONE FLOATING-POINT:

a = (-1)^s ρ N⁹ N^-1 ≤ p < 1 con t cifre dopo la virgola

L ≤ q < U

L < 0 e U > 0

• p: mantissa
• q: esponente o caratteristica

NUMERI DI MACCHINA:

numeri con mantissa ed esponente esattamente rappresentabili negli spazi a loro riservati dal calcolatore

Più piccolo numero positivo rappresentabile: m = 0,100...0 N¹_{t cifre}

REGIONE DI UNDERFLOW:

insieme dei numeri reali diversi da zero appartenenti a (-m, m)

Più grande numero positivo rappresentabile: M = 0,N N¹...N^-1 N⁰_{t cifre}

REGIONE DI OVERFLOW:

insieme dei numeri appartenenti a (-∞, M) ∪ (M, +∞)

ARROTONDAMENTO "ROUNDING TO EVEN":

la mantissa p viene approssimata con la mantissa di macchina più vicina e se p è equidistante da due mantisse di macchina consecutive allora p viene approssimata con quella delle due che ha l'ultima cifra pari.

ERRORE ASSOLUTO: e_a = |x - x̃| (x̃: approssimazione di x)

ERRORE RELATIVO: e_r = ^{|x - x̃|}/_|x|, x ≠ 0

EPSILON DI MACCHINA: eps = N^1-t

PRECISIONE DI MACCHINA: ε_m = ¹/₂ N^1-t (massimo errore relativo)

RELAZIONE TRA _q... E _a:

_q = _a(1±_ε)   |_ε| ≤ _εm

OPERAZIONE DI MACCHINA Ⓖ: associa a due numeri di macchina un terzo numero di macchina, ottenuto arrotondando l'esatto risultato dell'operazione in questione.

Due quantità _e1 ed _e2 sono EQUIVALENTI NELL'ARITMETICA DEL CALCOLATORE quando

\[\frac{|_e1 - _e2|}{|_e2|}\]

è dell'ordine della precisione di macchina _εm o minore.

CANCELLAZIONE NUMERICA:

_a1 = (-1)_{^s1p1N^q1  a2} = (-1)_^s2p2N^q2

_a1 = (-1)_{^s1p4N^q4  a2} = (-1)_^s2p2N^q2

La CANCELLAZIONE NUMERICA consiste in una perdita di cifre della mantissa e si verifica quando si esegue l'operazione di sottrazione fra due rappresentazioni di macchina _a1 e _a2 dello stesso segno circa uguali e almeno una delle quali sia affetta dall'errore di arrotondamento, cioè quando:

• _s1 = _s2
• _p4 ≠ _{p2   p4} ≠ _p1   c/o   _p2 ≠ _p4
• _q4 = _q2

CONDIZIONAMENTO DI UN PROBLEMA NUMERICO

PROBLEMA NUMERICO: relazione funzionale _f tra i dati _x (INPUT) e i risultati _y (OUTPUT).

• ESPLICITO: _y = _f(_x)
• IMPLICITO: _f(_x,_y) = 0

Un problema numerico è BEN CONDIZIONATO se l'errore relativo associato a _y è dello stesso ordine di grandezza dell'errore relativo associato a _x o minore altrimenti è MAL CONDIZIONATO.

\[\frac{|_Δy|}{|_y|} ≈