Formulario Calcolo Numerico - Prof. Gemignani

Errore relativo e assoluto

L'errore relativo è una misura dell'incertezza di una misurazione rispetto al valore misurato, mentre l'errore assoluto rappresenta la differenza tra il valore misurato e il valore reale.

Tipi di errore

• Errore inerente: È l'errore dovuto alle limitazioni intrinseche dei dispositivi di misurazione.
• Errore algebrico: Deriva dalle operazioni matematiche eseguite durante i calcoli.
• Errore inerente (condizionamento): Relativo alla sensibilità di una funzione rispetto alle variazioni nei dati di input.
• Errore inerente (due variabili): Si verifica quando due variabili influenzano il risultato finale.

La norma matriciale è sempre maggiore o uguale a 0 e uguale a 0 solo se la matrice è nulla.

Teoremi e dimostrazioni

Teorema. Sia A una matrice. Si ha che:

• Per k=1:n-1, la fattorizzazione LU è applicabile se le condizioni del teorema sono soddisfatte.
• Non posso affermare nulla qualora le condizioni del teorema non siano soddisfatte.

Teorema di Gershgorin. Sia A una matrice. Definiamo allora che un autovalore di A si trova in almeno uno dei dischi di Gershgorin associati alla matrice.

Matrice elementare

Una matrice elementare E è definita come una matrice che compie un'operazione elementare su un'altra matrice. La matrice elementare di Gauss è triangolare inferiore e invertibile, con elementi uguali a 1 sulla diagonale.

Condizioni di convergenza

• Una condizione sufficiente affinché un metodo iterativo sia convergente è che esista una norma matriciale indotta (1,2,∞) che sia minore di 1.
• Una condizione necessaria per la convergenza per ogni scelta del vettore iniziale è che la successione degli errori diminuisca.

Metodi iterativi

Metodo iterativo di Jacobi: Utilizza una suddivisione dei termini dell'equazione per calcolare iterativamente le nuove stime.

Metodo iterativo di Gauss-Seidel: Simile al metodo di Jacobi, ma utilizza ogni nuova stima appena calcolata immediatamente per migliorare la successiva.

Predominanza diagonale

È una condizione che garantisce la convergenza di alcuni metodi iterativi. Se la matrice A è a predominanza diagonale, allora il metodo iterativo sarà convergente.