Formulario Analisi matematica

FUNZIONI GONIOMETRICHE INVERSE

ed applicazione alla risoluzione di equazioni goniometriche

(versione corretta, novembre 2011)

~~~~~~~~~~~~~ x a, x a)

1. EQUAZIONI ELEMENTARI IN SENO E COSENO (sen = cos =

È noto che, fissato un qualsiasi numero reale compreso tra ed 1 (estremi inclusi),

−1

a

esistono infiniti angoli per i quali il seno oppure il coseno sia uguale ad In alcuni casi particolari

a.

questi angoli possono essere scritti esplicitamente come multipli razionali di ma nel caso

π,

generale non ci si può aspettare che le soluzioni siano esprimibile tramite angli "noti".

1

Consideriamo ad esempio l'equazione sen : essa ammette infinite soluzioni, che però non

=

x 3

sono multipli razionali dell'angolo piatto. Per esprimere le soluzioni, affrontiamo dapprima il

problema da un punto di vista geometrico. Tracciamo allora la circonferenza goniometrica, quindi

(ricordando il significato geometrico della funzione seno), intersechiamo la circonferenza con la

1 :

retta di equazione =

y 3 Q P

O A

   

2 2 1 2 2 1

   

La retta interseca la circonferenza nei due punti ; e ; ; tali punti

= = −

P Q

   

3 3 3 3

   

ˆ ˆ

individuano i due angoli e , che sono appunto le soluzioni cercate nell'ambito

A

O

Q

A O

P

dell'intervallo [0 , 2π]. Allora, se indichiamo con l'unico angolo del primo quadrante il cui seno

α

1 ˆ

vale (cioè appunto l'angolo detto sopra), è chiaro che, per le regole degli angoli associati,

A O

P

3 ˆ

ˆ

l'angolo è il supplementare di , pertanto potremo indicarlo con Ricordando poi

π − α.

A

O

Q A O

P

che la funzione seno è periodica con periodo 2π, tutte le soluzioni dell'equazione potranno essere

espresse come segue: 2

 = α + π

x k (1) (1.1)

 2 .

= π − α + π

 x k 4

sen : intersecando la

In maniera analoga ci si potrà regolare per un'equazione come = −

x 5

4 3 4

 

circonferenza goniometrica con la retta di equazione , si trovano i punti e

;

 

= − = −

y P

5 5 5

 

3 4

  , cosicché questa volta abbiamo due "soluzioni base" dell'equazione, una nel terso

;

 

= − −

Q 5 5

 

quadrante ed una nel quarto. Ora, un angolo del quarto quadrante si può esprimere in diversi modi:

3

ˆ e 2π, oppure volendo lo

possiamo ad esempio considerare come un angolo compreso tra π

A

O

P 2 π

possiamo anche immaginare come un angolo negativo, compreso tra e 0 (come dire che si

− 2

immagina il raggio vettore che ruota dalla posizione iniziale in senso orario). Per il momento,

OP ˆ

possiamo considerare indifferente la scelta dell'angolo base: se indichiamo con un angolo

α A

O

P

individuato secondo uno dei modi detti sopra (oppure secondo uno degli infiniti modi possibili), la

formula = + 2kπ darà una famiglia di soluzioni dell'equazione data. Per individuare poi l'angolo

α

x

ˆ , basterà considerare che comunque vale la formula sen(π = sen per cui l'altra famiglia

− α) α,

A

O

Q

di soluzioni sarà + 2kπ, esattamente come scritto nella (1.1).

π − α

Analoghe considerazioni valgono per l'equazione cos = sempre con un compreso tra −1

x a, a

ed 1, anzi, in questo caso si procede in modo più semplice, in quanto si può utilizzare un'unica

8

espressione per indicare tutte le soluzioni. Ad esempio, per risolvere l'equazione ,

cos =

x 9

8 :

dobbiamo intersecare la circonferenza goniometrica con la retta di equazione =

x 9

P

A

O Q

1 Adottiamo qui la solita convenzione per la quale, scrivendo "kπ" intendiamo che è un numero intero (positivo,

k

negativo o nullo). Si osservi che, per eccesso di precisione, nella (1.1) dovremmo scrivere = + 2k e = +

α π π − α

x x

1

+ 2k ma in generale si potrà fare a meno di utilizzare simboli diversi, intendendo comunque che è un generico

π; k

2

numero intero.

Anche qui vi sono due soluzioni in ciascun intervallo di ampiezza uguale ad un periodo; se

8

ˆ , cioè l'unico angolo del primo quadrante il cui coseno è

indichiamo con l'angolo , una

α A O

P 9

ˆ

famiglia di soluzioni è = + 2kπ; ora, possiamo esprimere come 2π e quindi scrivere

α − α,

x A

O

Q

l'altra famiglia di soluzioni come = 2π + 2kπ, ma più semplicemente possiamo osservare che

− α

x

angoli opposti hanno lo stesso coseno. Perciò possiamo esprimere l'altra "soluzione base" come − α;

in conclusione, un'espressione unica che contiene tutte le soluzioni è

(2)

= + 2kπ . (1.2)

±α

x

2. LE FUNZIONI ARCOSENO ED ARCOCOSENO

Ora introduciamo delle opportune funzioni che esprimano in modo opportuno gli angoli

soluzioni delle equazioni viste nel paragrafo precedente, angoli che prima abbiamo indicato

semplicemente con α.

Dato un numero compreso tra ed 1, sembrerebbe naturale definire l' di come

−1 arcoseno

x x

"l'angolo il cui seno è si capisce però che tale definizione è ambigua, in quanto, come abbiamo

x";

già osservato, esistono angoli aventi come seno il numero dato. Occorre perciò dare una

infiniti

definizione univoca di arcoseno, da utilizzare poi per esprimere tutte le infinite soluzioni

dell'equazione.

In un certo senso, la situazione è simile a quella della definizione di radice quadrata (o di altra

radice ad indice pari) di un numero positivo. Stabilito che in ogni caso nel campo reale non ha senso

la radice quadrata di un numero negativo, e che l'unico numero che al quadrato dà 0 è 0, rimane il

fatto che per un numero positivo non è corretto dire che la radice quadrata è "il numero il cui

x

quadrato è perché esistono sempre due numeri reali distinti (uno opposto dell'altro) il cui

x", il solo numero il cui quadrato

quadrato è Allora, per convenzione si usa indicare con positivo

x

x. 49 si indica soltanto 7 (e non 7, perché una funzione deve

è : ad esempio, con il simbolo ±

x 2

fornire un solo valore). Questo non contraddice il fatto che le soluzioni dell'equazione = 49 siano

x

+7 e 7 (e quindi scriviamo brevemente = 7): infatti un'equazione può avere più soluzioni

− ±

x

1,2

(anche infinite), mentre una funzione deve far corrispondere ad valore

un solo

x f(x).

Dunque, per definire in modo corretto la funzione arcoseno, occorre per prima cosa fissare un

intervallo nel quale la funzione seno assuma una ed una sola volta i valori compresi tra 1 ed 1. Ciò

−

 

π π

si può fare in infiniti modi, ma è uso comune scegliere l'intervallo . Si osservi infatti

,

−

 

2 2

 

π

(volendo la cosa si può visualizzare con un disegno) che in il seno vale 1, al crescere

−

− 2

π

dell'angolo da a 0 il seno assume tutti i possibili valori reali tra 1 e 0, poi simmetricamente al

−

− 2 π

crescere dell'angolo da 0 a il seno copre tutto l'intervallo [0 , 1]. Possiamo dare allora per la

2

funzione arcoseno la seguente definizione:

2 Volendo, sarebbe possibile anche per l'equazione sen = dare un'espressione unica, che comprenda tutte le soluzioni

x a

k

scritte nella (1.1): basta scrivere infatti = (−1) + Per convincersi dell'equivalenza di tale espressione con la (1.1),

α

x kπ.

si osservi che ad esempio per = 0 l'espressione scritta sopra dà per = 1 dà per = 2 dà 2π + e così via.

α, π − α, α,

k k k

Tuttavia, nelle applicazioni (quando ad esempio è necessario individuare le soluzioni di un'equazione che cadono in un

k

certo intervallo), di l'espressione = (−1) + è scomoda, perciò continueremo ad utilizzare le formule (1.1).

α

x kπ Dato un qualunque numero

DEFINIZIONE DELLA FUNZIONE ARCOSENO. x

compreso tra 1 ed 1 (estremi inclusi), si dice del numero (e si indica con arcsen

− arcoseno x x),

π π

l' angolo compreso tra e tale che sen è uguale ad

α α

−

unico x.

2 2 π π

se risulta sen = ma con la limitazione . Da un

Perciò poniamo arcsen = α α − ≤ α ≤

x,

x 2 2

punto di vista geometrico, determinare l'arcoseno di un numero equivale a considerare l'unica

a

intersezione tra la retta di equazione = e la semicirconferenza goniometrica giacente nel

y a

semipiano delle ascisse non negative. Se è positivo l'intersezione cade nel primo quadrante, ed in

a

tal caso considereremo come arcoseno di l'angolo acuto come in figura, contato nel verso

α

a

positivo. Se invece è negativo l'intersezione cade nel quarto quadrante, ed in tal caso l'arcoseno di

a

è l'angolo acuto contato nel verso negativo.

α

a α α

Sulla base di quanto detto sopra, abbiamo ad esempio:

2 3

1 π π

π π

; arcsen ; arcsen ; ;

arcsen 0 = 0; arcsen arcsen 1

= =

= =

2 4 2 3

2 6 2

   

2 3

1

  π π

π π

   

; arcsen , arcsen ; ,

arcsen ( 1

)

arcsen   − = − − = − − = −

− = −    

2 4 2 3

2 6 2

     

1 5 5 1

π π

mentre ad esempio sarebbe errato scrivere : è vero che è uguale a , ma per

arcsen sen

=

2 6 6 2

1 1

definire si considera, tra gli infiniti angoli aventi seno uguale a , l'unico che giace tra

arcsen 2 2

π π π

e , cioè appunto .

− 2 2 6

Grazie alle proprietà della funzione seno, è facile rendersi conto del fatto che per ogni

[ 1 , 1] si ha arcsen( = arcsen cioè, l'arcoseno è una funzione dispari.

∈ − − −

x) x;

x La figura che segue mostra il grafico della funzione arcoseno; per tracciarla correttamente si

 

π

consideri, oltre alla simmetria rispetto all'origine, anche il fatto che nel punti estremi e

; 1

 

− −

2

 

 

π le rette tangenti alla curva sono verticali.

; 1

 

2

  1.5

1.0

0.5

1.0 0.5 0.5 1.0

- - 0.5

- 1.0

- 1.5

-

Ora, grazie all'introduzione della funzione arcoseno, siamo in grado di esprimere le soluzioni

1

dell'equazione sen = Ad esempio, si consideri di nuovo l'equazione : l'angolo che nel

sen =

x a. x 3 1

par. 1 abbiamo indicato con , cioè l'unico angolo del primo quadrante avente seno uguale a , si

α 3

1

può esprimere come ; perciò, seguendo quanto detto prima, possiamo esprimere tutte le

arcsen 3

soluzioni come segue: 1

 arcsen 2

= + π

x k

 3 (2.1)

 1

 arcsen 2 .

= π − + π

x k

 3 2

Per negativo la situazione è simile. Si debba risolvere ad esempio l'equazione :

sen = −

a x 7

2 2

 

π π

L'unico angolo compreso tra e il cui seno è si può indicare con , che è

arcsen  

− − −

2 2 7 7

 

2 π

anche uguale a , ed è compreso tra e 0. Come abbiamo osservato prima, nell'ambito

arcsen

− −

7 2

di un periodo c'è un altra soluzione, che cade nel terzo quadrante. Possiamo indicare tale angolo con

2 2

  , che è come dire . In conclusione, tutte le soluzioni dell'equazione data

arcsen

arcsen   π +

π − − 7

7

 

sono: 2

 arcsen 2

= − + π

x k

 7

 2

 arcsen 2 .

= π + + π

x k

 7

Un esercizio molto utile (che poi come si vedrà è importantissimo nello studio delle funzioni

goniometriche), consiste nel selezionare, tra le infinite soluzioni di una data equazione

goniometrica, quelle che cadono in un intervallo assegnato. Ad esempio, prima abbiamo espresso le

1

soluzione dell'equazione tramite la (2.1). Supponiamo di voler individuare le sole radici

sen =

x 3

dell'equazione che cadono nell'intervallo [0 , 2π]; geometricamente, è come dire che partiamo dal

punto (1 ; 0) e facciamo un intero giro della circonferenza in senso antiorario, osservando quali

A

sono gli angoli soluzioni dell'equazione, ed in quale ordine vengono trovati. In questo caso la

1

soluzione è molto semplice: abbiamo, nell'ordine, un angolo nel primo quadrante, che è , e

arcsen 3

1 ; come dire che in ciascuna delle espressioni (2.1)

un altro nel secondo quadrante, che è arcsen

π − 3

abbiamo scelto il valore = 0.

k

Di solito è utile sapere quali sono i valori approssimati delle soluzioni così individuate.

Utilizzando una comune calcolatrice scientifica, otteniamo facilmente i valori (approssimati a 4

cifre decimali): 1 1 (3)

; arcsen 2

.

8018 ,

0 . 3398

arcsen π − ≅

≅ 3

3

e quindi lo schema 1 1

arcsen arcsen

π −

0 2π

3 3

dove abbiamo indicato con un pallino vuoto il fatto che l'equazione presenta una radice nel punto in

questione (invece 0 e 2π servono solo per delimitare l'intervallo nel quale abbiamo tracciato le

soluzioni). 2

Nel caso dell'equazione la scelta dei valori di è leggermente diversa.

sen = − k

x 7

Supponiamo infatti di dover individuare, nell'ambito delle espressioni (2.2), le sole radici

dell'equazione che