Formulario Algebra lineare

R" S

2xn 2xz

abbiamo vettori

nxx sono

con

se + = 0

lineare

dipendenza lin x1

dip Xz

+ 0

=

. R vettori

abbiamo 3x1 3xz

nx 0

se con n o =

+

lin dip ind X2

essere

possono x1

o = -

. .

(R" K vettori

kan lin dip

sono

Va

V ,

.

, R

R (3) -

(8)

(8)

(8)

vettori

abbiamo nx

se con n o - ,

,

lineare

indipendenza lin dip ind

essere

possono (

o 1(8)

. . 3(i)

c()

+ +

=

allo

vettori

abbiamo

dimen n

e

se , (8)

ind() ()

2(g) 3(a)

lin lin

generatori

inc

ra e

sono +

sono + =

-

.

. (3)

R

l'intero (g)

cobbiamo

spazio

generano generatori

devono essere

va

vi non

=

,

lin B

vettori ind

almeno

avere di

n ma

.

lin clip

anche trovare

averne

può vettore

cobbiamo che riesco

non a

un

. .

qualsiasi generatore

generator vettori

di combinazione

dalla

ottenere dei 2

n

- - lin base

ind e esempior(2)

una vettori quanto

in

ad ot2

. . (2)

Xc()

(2)

< x2 t

generatori X1 cX

quindi

sono

n e

V

Vz non +

Vn =

· , .

, ,

, ,

Kvettori)

IR" ER

dim lin

n

, generatori

= perche

ind e

sono

Vz

Vz

, Ve .

, ,

allo

vettori

abbiamo (R)

dimen n

e dim

se 3

=

, -

lin generatori

inc

ra e

sono . (0))

(( (a)

()

) consideriamo

base

lin v

generatori : =

%

di ind

insieme . , ,

.

basi infinite

Ce (a) )

sono (8)

(G) ( %

1

6

s + +

.

= . .

base se Z base V/

costituita

e di da

.....,

v n le la base

coordinate rispetto

7

5 6 sono

vettori) (V)

allora dimensione , ,

n

=

, (a)

,

base

alla

rispetto

coordinate dati

il vettori

di deve

numero essere (i)

(i) e

R ne

uguale alla dimensione ret

num . . Co (i)

(i) (t)

= -

(2x3)

R2() -

dim((m) R3

F

rg = -

:

rango f(j) (2)

f(j)

F (2)

(2) f(q) (2)

c(2)

(W) (2)

(m(f) c(2)

suriettiva

dim

rg = = = -

=

= = =

,

,

, ,

R

dim=1 in 1

G =

S 0)]aR

s(

dim(W) dim(2) W

n

+ = =

(a) (

Wnz C

= 3x2

x sxx =

+

+

= :

(w)

dim dim(2)

1 2

3 - 1

= =

=

diretta (t(tcR] =

Somma <(2)

W

Wnz =

=

t

R 3t st 0

2 +

+ =

W .

+ = Wnz

9t t quindi a

o

0 0

= :

- = =

la diretta

è

perciò somma

diretta

esempi somma ?

1) Wiz

W z

dato 0

0

X3

2x2 e

X1 + =

: =

- ,

f

S

to 3

X1 0

> =

- E

I Xz = 37

3 X3 =

2t 3t 0

=

- Wrz

t

t 0

0 0

-

= = =

-

-

(2) dim(W) E

le

tutte

dim verificate

condizioni DIRETTA

due SOMMA

2 - 2

3-1

1 e

1 3 sono

+

= -

-

=

= =

, =

SER W

2

0

W

2 3x

4x

x +

: =

= - ,

& Y

t

Xz =

t x 5 F

0

+ =

- (3x

RaR( X-X3)

VeW F calcola

F Im

m/feW vettoriale

sottospazio +

:

: = ,

F (m(f) W

suriettiva) 4x3

2x1 +

Xz

= -

basi

(m f(vi) delle canoniche

f(vn) vettori

(f) sui

c :

Immagine = , ...,

dif F

f

valore

generata dal rettori

di sui

è base dominio

del

di una

Im(f) cW allora

vettoriale

sottospazio

e ,

le

Im(f) W solo coincidono

dim

se e se

= on) >R2()

(veV R (

Ker(f) )

F(r) F 2

: =

= -

: - (n)

f(b)

1) (f) c V

Ker velt.

sott

e =

. (i)

f(i)

dim(ker)

(a)

2) Finiettiva Ker(f) o

o = =

=

3) f(q)

F(b)

Ker(f) inietiva incettiva

quindi e

perció ,

= non e

0 non

= , (8))

((x) cr f(x)

Fer(f)

calcolare

calcolare (F)

il Ker uguale

e a : =

=

nucleo Kerlf) &

la lineare

indipendenza

dipendenza X1 0

Xz

+ = 0

X1 Xz =

-

- ))

((z

- <(it)

ker(f)

x1 xz = =

= =

- Ker(f) +Ov 0)

[()

EccR R

lin

vettori We

di

massimo ind e

numero sxc

: xe

: + =

.

dimensione 2

V

il generatori di c

(WC)

minimo di retta

dim

numero -1 1 >

=

= -

(W) (RM)

dim

dim indipende

numero eq

= -

nti

R" * (ker(f)

F - rg(f) dim

n +

=

: =

↓ (Ker(f)

Krighe Eg n- dim =n

= (1m(f)

colonne dim =k

rg

n = k]

min[n

rg(f) = ,

R Ra

Fir" lineare iniett

iniettiva

è che

È

nek Falso se

se

>

-

iniettività dim(ker)

(a)

Finiettiva Ker(f) o

o =

=

Ker(f) initiva

o non

=

* R

R

R"

-R

F lin

solo

suriettiva suriettiva

E

nak

è FALSO

se e se se .

:

surcettività F

(W) suriettiva

dim

rg =

=

F (m(f) W

suriettiva) = WcR Wa(

parametricos We spam ne na

www .

wa.

cartesiana

parametrica cartesianaintrinseco we

s lineari

In-kl

descritto equazioni A 32

da +

omogenee 3t

indipendenti an = -

WaR" -(3)

dim(W) k cont 1 +

3x1 0

X2

= = =

-

SX

WCRP

Dato W 2x x 3

+ + 0

. = =

parametrica

cartesiana s 2Xz

y1 X2 + 0

=

-

2t -

zt

1t

X1 Xz

= = = -

- -

2t t

+ 2xz

Xz + = 0

- t

3x2 = E

Xz = (1)/base)

( )

513 t

E - 3

=

(2) (Wnz)

(W)

2

W -dim

dim dim

W z +

+ =

+ Matrici I matrice associata

determinare

ab)

( = (

() (a)

basi la

matrice = b

associata base f

rispetto canonica

a di

= (2)e

f(b)

d (i)

canoniche f()

t c = =

. f(b)

=(3) (i))

f(q) (i) ( )

3 +

=

= - =

i -)

(2

A =

-

(4) (9)

(2) +(3)

=(8) (2)

matrice basi

m mat ass

= = = ,

. .

.

,

colonne

K righe e n ?

canoniche

~

4)() 1)

Al

(colonne

Im (f) matrice

span

= =

Immagine Im(f) an Ker(f)

(Im)

dim n

=

+ 3

333 1

=

=

determinare

Sor] e

F Se

(f)

incettiva mile

Ker

se

e =

nucleo/fer 2 (A X feda allora 22 02

con 1 2

+ 13

e =

= =

-

. , ())

Ker(f) X

A ker(f)

A

0 = =

=

. . R"

R R ?

Fir" F

iniettiva

è iniettiva perché nak

si

nek

se >

> : -

- R R ?

F

dim(ker)

(a) solo

iniettiva

Finiettiva Si

Ker(f) se

o ma e

o >

= :

= -

iniettività la invertibile

Ker(f) A

matrice

initiva ossia,

è

se

o non

= ,

Non

det(A)

Finiettiva invettiva

rg(f) può essere

se .

0

n =

=

= R3 surie

tutto continua

e e

Su se e non

tia

-Finitiva in

le

o

(f)

dim +

1 0

=

R- ?

R"

Fsurcettivarg(f) F suriettiva

K No 34

- >

= : Ro

R" ?

F suriettiva

suriettiva Si

perche

KEM

essere

puo se >

- : -

surcettività Re

BR Ken può sempre

con , RP

,

lo

tutto spazio perché

coprire

il ha grande

spazio più

primo uno

del secondo = S

(a ( S

Capelli

Rouché

teorema A b 2xz

+

x 5

X1 Xz

= +

- =

=

.

soluzioni

7 Alb

2x3

Xz + 2

=

almeno soluzione solo

se e

una %

se + 2x3

Xz

X1 +

rg(Alb) rg(t)

rg(t) 2

= =

Ts colonnab rg(t(b)

A

matrice soluzione

con 3 non

= -

1)

g(t(b) (min(k

rg(A) = n +

,

teorema conrg(t) rg(Alb)

soluzioni

delle se r

r m 9

3xz

X1 +

: Xz +

= = = > =

-

, 3) A(113(q)

(1 Alb rg(t)

soluzione 1

un'unica +

En =

- = =

>

- soluzioni

infinite rg(A(b)

di 1 v 1

n 1

rn - = = =

- (a)

Forma Worker S

soluzione qualsiasi 3t

9

x1 S

= - - s(i)

() t(j)

del sistema S

Xz +

+

= t

Xz = & 2X1

r 3x

<n >

- (

=

(2) Ab

A = rg(t(b)

rg(t) 2

2 =

=

S 3t

2x1 4

+ xc =

-

t

3x1 s

+

xz =

- -

3

xc 3t 4

4 2x1 +

+ =

= - t

3t

3x1 4 2x1

+ 5

+

-

- -

2t

9

SX1 +

= zt

g

X1 +

= S

t

S

3) +

⑧ Ker(ta)

wo

(

al

(1m)

dim e

di 11

righe 12 rgz3

numero

rg max

= = lin ind

colonne . .

uguale al 22

di 00

ordine

e max un

. S x1 2xc

di quadrato

minore xz

ordine X1

un

Tango 3

+ 0 rg

+ 0

= =

=

determinante (Ker)

dim

xz /

4x2

con to 4 3

0

+ 1 =

0 =

= -

=

n)

(k Xz

egz min 0

=

, c)

d 111 12 rg3

1 11

O 1 ·

112

001 lin

le colonne

ultime

perché ind

rg 3 y

= . .

dim(Ker(all

6 - 3 3

= =

I 00)

3) 1001

1 g

03 66

03003

(Kerkal)

dim S

7-2 =

=

(A (

(-1)" (1

/Asd

det A det

ceta) 3

1 4

1

+ =

= =

= . -

matrice inversa elimino 13

je

i non

, l'inter

colonne 2

An

irighe ,

considero

je 1 2

3 =

.

3

il (1)

Anz

det

sezione per 14

=

.

.

A

A invertibile 7 A"t Id 1)3(1)

A t &(

e