Algebra lineare (formulario)

ALGEBRA LINEARE

SPAZIO VETTORIALE (proprietà)

• (x, y) -> x + y
• (λ, x) -> λx
• 1. Commutativa: x + y = y + x
• 2. Associativa (x + y) + z = x + (y + z)
• 3. Elemento neutro
• 4. Opposto
• 5. (λμ) x = λ(μx)
• 6. 1x = x, (λ+μ)x = λx + μx
• 7. λ(x+y) = λx + λy
• 8. 1 = x x =

FORMULA DI GRASSMANN

dim (U + V) = dim V + dim W - dim (U ∩ V)

FUNZIONI LINEARI (proprietà)

1. f(x₁+x₂) = f(x₁) + f(x₂)
2. f(λx) = λf(x)

• Ker (f) = {a₁a₂b} -> f iniettiva
• Im (f) = W -> f suriettiva

dim (Ker f) + dim (Im f) = dim V

TEOREMA DI ROUCHÉ - CAPELLI

Soluzione <=> rg (A|B) = rg (A)

• se rg = n Soluzione unica
• se k < m infinite soluzioni

Omomorfismo: funzione lineare

Isomorfismo: funzione biiettiva (iniettabile)

Endomorfismo dim: V = V

MATrice m x n (m righe n colonne)

• a₁₁ a_2m
• a₁₁ a_2m
• a_nm

U = k per trasformare in funzione di parametri, attribuisco un valore a caso alle indeterminate e trovo le altre

U_L =

Le colonne alte (a²¹ (a³²) ed esprimo x in funzione di x bassa o λ

Im (Φβ) = # colonne L.I

colonna 0.1

1. dominio: calcolo immagini e l'inserisco nella matrice
2. codominio: calcolo solo vettori base in vettori vecchi e poi calcolo le immagini

ALGEBRA LINEARE

SPAZIO VETTORIALE

• (proprietà) (x,y) → x+y
• (λ,x) → λx

1. commutativa: x+y = y+x
2. associativa (x+y)+z = x+(y+z)
3. elemento nullo
4. opposto
5. (λμ)x = λ(μx)
6. λ(x+y) = λx + λy
7. (λ+μ)x = λx + μx
8. 1x = x

FORMULA DI GRASSMANN

dim(U+V+W) = dim U + dim W - dim(U∩V)

FUNZIONI LINEARI

(proprietà)

1. f(x+λy) = f(x) + λf(y) e Ker(β') = 0
2. f(dx+d'y) = df(x) + d'f(y)

Ker(β') = {0} ⇒ β iniettiva

Im(β) = W ⇒ β suriettiva

dim(Ker(φ)) + dim(Im(φ)) = dim V

TEOREMA DI ROUCHÉ-CAPELLI

Soluzioni: ⇔ rg(A|B) = rg(A)

Se r=n Soluzione unica

Se r<n infinite soluzioni

• omomorfismo: funzione lineare
• isomorfismo funzione biiettiva (invertibile) ⇔ m=n
• endomorfismo: U → U

MATRICE m×n

(m righe n colonne)

a_nm

U={} per trasformare in combin a di generatori, attribuisco un valore a caso alle n incognite e trovo le altre

U_x={} per trasformare in scaletta R eche form combina zone lineare

cocomo abi altins x(λI λ)

x senza λ → λ

Im(cβ) = r colonne LI

Calcolo b.c.

1. 1) dominico: calcoli immagini e lancasco mella matrico
2. 2) codominix: aprimo duex vectora base in vectara vecchi e pri calcolo

DETERMINANTI

A = ^{a c}/_{b d} det A = ad - bc

A invertibile ⇔ det A ≠ 0

permutazioni di m oggetti

sgn (σ) = ± 1 n° pari

Σ_σ∈Sm sgn (σ) a_{1 σ(1)}a_{2 σ(2)}...a_mσ(m)

det(A) = det(A^T)

TREOEMA DI BINET

det(A · B) = det A · det B

FORMULA DI LAPLACE

Auto v.a = λ ⇒ Aλ = λν autovalore

(A - λI) ∈ ν = 0 polinomio caratteristico

molteplicità geometrica e molteplicità algebraica

FORME CANONICHE DI JORDAN

matrici simmetriche

ALGEBRA

matrice _{C x C}

(A - λI) = 0

det(A) λ₁…λ_n

Formula al cambiamento

cambiata la base

A S = S D <=> B = S^-1 A S

B = S D S^-1

D matrice diagonale

PRODOTTI SCALARI:

v • w = ||v|| ||w|| cosθ ; cosα = v • w / ||v|| ||w||

Affine

v' = λ v + μ w

w' = μ u + μ v

Anti-simmetrica

Simmetrica

Non degenerare

disuguaglianza Cauchy-Schwarz: |v • w|