Fisica generale 1 - Energia

Energia

• lavoro
• teorema lavoro - energia cinetica
• legge di Hooke
• molla
• forze conservative e non conservative
• energia potenziale
• potenza
• velocità di fuga

Titolo: Vis viva

Note: 20/03

Appunti

Vis viva è il termine latino per dire "forza viva" con cui veniva indicato il semiprodotto della massa per il quadrato della velocità di un punto materiale.

Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646 - 1716)

"La quantità complessiva della forza viva viene conservata"

m v²

René Descartes (1596 - 1650)

"La quantità di moto viene conservata"

m v |v|¹

quantità di moto ≠ energia

Thomas Young definisce per primo l'energia ("energy")

Coriolis definisce per primo l'energia cinetica ("énergie cinétique")

Schema

Leibniz

• m v² costante
• quantità complessiva della forza costante

Descartes

• m |v|¹ costante
• quantità di moto costante

Young

• energia

Coriolis

• energia cinetica

Titolo: Teorema lavoro - energia cinetica

Note: 20/03

Parole chiave:

• teorema lavoro
• energia cinetica
• corpo esteso

Appunti:

punto di applicazione

corpo esteso

Se il corpo non ruota, e non si deforma...

W_tot = F Δx + F⋅Δx

in questo caso non importa dove si applica la forza

Il teorema del lavoro - energia cinetica mette in relazione la forma di energia legata al moto con la nozione di lavoro, e stabilisce che il lavoro della forza risultante compiuto su un corpo è uguale alla variazione di energia cinetica del lavoro.

W = ΔK = K_f - K_i

Dimostrazione:

Partiamo della 2^a legge di Newton:

∑F = ma per un punto materiale di massa m

Assumiamo il vettore dṫ come spostamento infinitesimale

dṫ

Definiamo ora il lavoro compiuto durante lo spostamento infinitesimale

dW = (∑F) ⋅ dṫ =

Schema:

TEOREMA DEL LAVORO - ENERGIA CINETICA

W - ΔK = K_f - K_i

Titolo:

Esercizio 2

Note:

23/03

Appunti:

Calcola la distanza di arresto di una macchina

Disegniamo il diagramma di corpo libero

Dobbiamo calcolare il lavoro totale compiuto dalla forza d'attrito

W_tot = ∫ F_K dx = − F_K d

Dobbiamo calcolare la variazione di energia cinetica

W_tot = ΔK =

= -m v_f² 1 − m v_i² 1 =

= 0 - m v_i² 1

= - F_K d = -m v_i² 1

d = m v_i² 2 F_K = v_i² 2 μ_K g

F_K = F_N μ_K =

= mg μ_K

Schema:

/

Titolo:

Esercizio 4

Note:

23/03

Appunti:

Domanda equivalente a quella del problema è quale deve essere K in modo tale che la molla non si comprima più di x_max?

Applichiamo il teorema del lavoro - energia cinetica

W = ΔK

stato iniziale v_i = v_i x_i = 0 stato finale v_f = 0 x_f = x_f x_max = \(\frac{m a x_{max}}{k}\)

ΔK = \(\frac{1}{2}\)mv_f² - \(\frac{1}{2}\)mv_i² = 0 - \(\frac{1}{2}\)mv_i² = -\(\frac{1}{2}\)mv_i²

W = -\(\frac{1}{2}\)k(x_f² - x_i²) = -\(\frac{1}{2}\)kx_f²

\(\frac{k}{2}\)x_max² = \(\frac{1}{2}\)mv_i²

\(k \cdot \frac{m a x_{max}}{k}\) = mv_i²

K = \(\frac{m a x_{max}}{v_{i}^{2}}\)

Schema:

/

Titolo: Energia potenziale

Note: 23/03

Appunti:

W_if: ∫ F • dz dipende solo da v_i, v_f se F è conservativa

= [−U(z_f)] − [−U(z_i)]

In altre parole, ∫ F • dz = U(z) + costante

Il lavoro compiuto da i a f è uguale al negativo della differenza di energia potenziale

W_if = -ΔU_i,f

U(z) = −∫ F • dz + costante

L’energia potenziale

• vale solo per le forze conservative quindi non vale ad esempio per l’attrito
• è un modo di immagazzinare energia per essere successivamente usata per compiere un lavoro

(ha il potenziale per poter compiere un lavoro)

Schema:

ENERGIA POTENZIALE:

U(z) = −∫ F • dz + costante

Titolo: Esercizio 5

Note: 24/03

Appunti:

Una macchina di 10³ kg necessita 16hp (horse power = cavalli vapore) di potenza per andare a velocità costante di 80Km/h. Quale pendenza è necessaria per salire una pendenza di 10° alla stessa velocità?

<1hp = 746 W> P: 16hp = 11936 W v: 80Km/h = 22.22 m/s

velocità costante → a = 0 ma = 0 = ΣF F_n = F W = Fd → lavoro compiuto dalla forza di trazione su una distanza d P = dW/dt = d/dt Fd = Fdd/dt

F = P/v = = 11936/22.22

= 537.12 N

Schema:

/

Titolo:

Esercizio 8

Note:

24/03

Appunti

W = ΔK = 0 = - W_g + W_m

W_g = mg l

W_m = - 1/2 k (l · d)²

mg l - 1/2 k (l · d)² = 0

- 1/2 k l² + (mg + kd) l - 1/2 k d² = 0

l = mg/k (1 + √(1 + 2kd/mg)) + d

= 5 · 10^-1 · 9.8 / 120 (1 + √(1 + 2 · 120 / 5 · 10^-1 · 9.8 · 0,6)) + 0,6

= 0,866 m = 86,6 cm

Schema:

Titolo: Esercizio 9

Note: 24/03

Appunti:

Prendiamo un blocco sospeso da una molla di cui conosciamo la costante K della molla. Il blocco ha velocitá e accelerazione pari a zero. Qual è il punto di equilibrio del sistema?

Per la seconda legge di Newton:

Σ^→ F = m^→a = 0

F_m + F_e = 0

KΔy = mg

Δy = - mg

_K

U(y) = mgy + ¹Ky²

₂

L'equilibrio si ha con   dU = 0 = mg +Ky = 0

 dy

y = ^mg punto di equilibrio

_K

Schema:

/

Titolo:

Note:

Appunti:

E_i = E_f => ¹/₂ mv_i² = Gm_mm_o (¹/_Re - ¹/_{Re + h})

= Gm_m ^{R_e + h - R_e}/_{Re (Re + h)}

¹/₂ mv_i² (R_e + R_e + h) = Gm_m h

¹/₂ mv_i² R_e - Gm_m h = ¹/₂ mv_i R_e²

h = -¹/₂ mv_i² R_e²

¹/₂ mv_i R_e = Gm_m

R_e/_{2 Gmm - 1}/_{Re vi²}

La velocità di fuga corrisponde a h che tende a infinito

h -> ∞ => ^{2 Gm_m - 1}/_{Re vi²}

oppure

h -> ∞ =) ¹/₂ mv_i² = Gm_m/_Re

Per la terra la velocità di fuga è 11.000 m/s cioè 40.000 km/h

Quindi: la velocità di fuga v_i = v_fg = ^{2 Gm_m}/_Re

V_fuga = √2 g R_e

Schema:

VELOCITÀ DI FUGA ---> h -> ∞ =>

2 Gmm - 1/Re vi21/2 mvi2 = Gmm/Re