Fisica 1 - Dinamica dei corpi rigidi

CINEMATICA e DINAMICA dei CORPI RIGIDI

Si considerano SISTEMI di PARTICELLE la cui DISTANZE e VELOCITA' RELATIVE NON ABBIANO ALCUNA RELAZIONE VINCOLANTE da FORZE INTERNE.

Questi corpi hanno soltanto 6 gradi di libertà cinematicamente parlando

• 3 TRASLAZIONE (x,y,z) =
• 3 ROTAZIONE (rx, ry, rz), che si

riconoscono soltanto del CM.

STATICA dei CORPI RIGIDI

E' lo studio dell' E_QUILIBRIO dei corpi rigidi

L_EQUILIBRIO

ESEMPI

ROTAZIONI ATTORNO AD UN ASSE FISSO

Si vuole mettere in relazione il momento angolare di un corpo rigido con il momento di forza ad esso applicato.

Sommando su tutti i punti si ha:

L_O = ∑_i=1^N m_i r_i sinθ₀∑sub

Corpo simmetrico attorno asse di rotaz.

L_O = ∑_i=1^N m_i r_i² ω

Momento d'inerzia relativo al'asse di rotazione

I_z = ∑_i=1^N m_i R_i²

I_z = ∫ R² dm = ∫_V ρ R² dV

NB!

Supponendo di conoscere I_z, allora si ha che

τ₀^(EXT) = d/dt L_O^-d / d/dt (Iz ω)

∫_O^(EXT) F = Ma_C (c'è una somma di parallelismo)

Energia Cinetica di un Corpo Rigido

Considero la rotazione intorno a un corpo fisso.

L'energia cinetica di rotazione:

Dalla scomposizione di König dell'energia cinetica:

E_{R, TOT} = E_{R, TRASL} + E_{R, ROTA} = 1/2 M v_CM² + 1/2 I_O ω²

Ma sono anche vere:

E_{K, rotaz} = L_O² / 2 I_O

E_{K, trasl} = p² / 2 M

Pendolo Fisico

Si considera un corpo rigido sospeso a un fermo O e lasciato libero di ruotare.

Per lo studio si usa la eq. cardinale:

• τ_O(ext) - r_CM x w = dL_O/dt = I_O dω/dt

L'unica forza che genera momento su O è il peso.

Risulta inoltre usuale:

θ'' = -g (r_CM/k²) sin θ

In ω radice è un'oscillatore armonico con:

ω₀ = √(g/r_eff)

T = 2π√(r_eq/g)

NB1

Si intende trovare anche con la conservazio[n] del L₀

Diretto a O (r_ib fino sul piano d'appoggio)

v_oxr=0 -> L_o=cost

L₀=MRv₀; L₀=MRv₀

• (L₀-L₀=MRv₀=MRv_r + MR²v_r/_R) ⇒V_r=V₀-> ^R2/_R²+k²

NB2

S'in[z]itro [no] [enne] con l'energi[a]

Lavvoro sorpresa della Fa do W=DE_c

1. W=1/2 m v_f² + 1/2 I_cm w^₂ - 1/2 m v₀² - 1/2 m v_o² - ^h2/_{u² + R²} < 0

E_kr         E_ri

1. W=-μMgk_ig

... [illegible] ...

• quindi: 1/2 mv₀²=^h2/_h²+R²=-[mu]mg i

1= ^v₀2/_2[mu]g), [mu] ²/_{h² + r²}

Quindi ho

I_cmΩΔθ = bW = bMg = Mk_m²ω_sΩ

da cui trovo

ω_sΩ = ^bg/_km²

ma il modello funziona se ω < Ω altrimenti è

necessario disegnare in conica anche la precessione diretta lungo k̂.

e l’equazione di PRECESSIONE è

dL_o/dt = ω x L_o