O
(x)
:
f
C i punti derivata
dominio
del della
funzione
Derivata della inversa : (f-1((y0) 1
5'(20)
derivabile
f -
I-PIR allora
monotona to
Sia e 0
continua +
in
e
: = E'(xd
(40)
1 f(x0)
f yo
-
10 = =
destra/sinistra
Derivata :
destra/sinistra
è di da
accumulazione
se allora
punto
no un :
---
Derivata sinistra
Derivata destra fI(0) f(x)-f(x)
7 finito
f(x0)
f' f(x)
(20) finito
Im
um -
=
= =
=
+ -
+ X
X0 Dx0
* -
-
X0
- x0
2
x -
-
↳ d f'(x) f b]
[a
f'(x) continua
ma Lim => in ,
+ DD -
X b)
(a
- derivabile
e in ,
Locale
Estremo : estremol
un ex
xo perf
dice locale di
esiste u
un intorno
si massimo minimo zo
punto se
o ,
Che
tale : e -D
Ix) f(x)
f f'(x0)
1 Critico 0 #
massimo punto =
D
flzol
f (x) dell'intervallo
estremo
minimo 2 derivabilita
di
3 Punto non
* * affinché
condizioni
no le stesse punto
sia critico
un
& 0f'(x)
f'(x) >
so snstrodot
massimo Interno .
in un 1
LOCALE /co f'(x)0f(x) > 0
di
e se
sinistro
Interno
un
minimo in e
di fermat
Teorema : f(x0)
(a
f .
derivabile Sef
sa of locale allora
b) to 0
na
in un estremo in =
,
Punto Critico : I ·
angolare
~ Colff .
fe f'(xol
derivabile
critico
↓ tangente
o retta
dice
si se in
punto 10
o e = ab
- O
↳ coefficiente della
angolare retta
di
differenziale monotonia
criterio :
f derivabile
Continua
intervallo
I I-PIR I
Sia In
un e
:
(x) (X I) è
f +
Ed
0 E I
Crescente in
-1)
f'(x) ed fe
(X
O I
decrescente in
Al /X Il
f fè I
o monotona crescente in
= fe
1) I
()
f (x decrescente in
=
<0 monotona
⑳ O
⑧ O
D
6 la di Questo
non esistenza
f'(x)
è f(x) la
non (he
vero non
Limite implca
non
-
g(x)g((x) f(x)
esistenza lim
del g(x)
seconda
Derivata : f"(x)
derivabile
f seconda
derivata
due
dice fin
di
e se
SI chiama
volte e
si
ed ' finito
- derivabili esiste
e
sono h) f'(x)
f'(
f"(x) Im +
= -
n D0 n
-
funzioni concave convesse
e :
> grafico segmento
- sopra il
f(x1) f(x2)(x
f(x) f(x))
4)
> +
concava
Strettamente : -
-
↑ X2
x1 -
formulazione geometrica : l f(x1)-f(x2)
f(x) f(x)
x)
< (x +
Strettamente convessa : -
X2
x1 -
↳ grafico segmento
sotto il concava
convessa coincidono -
La
Con I
-
I
funzione !
- quindi
essere
deve
uguale
- is 2
XIXh 1)
[0
x2]
f[(1-t(x1 +
(1 f(x2) f
-t)f(x) +
+
concava
Strettamente >
: +
+ ,
*
formulazione analitica : b 1)
[0
+x2]
f((1-t(x1 (1 f(x2)
-t)f(x) +
+ f
Strettamente +
convessa + <
: ,
convessita'
seconda
Derivata e : derivabile
due
f continua volte
Sia intervallo Ie
in un U
I)
f"(Xk fe
(XE #D
0 I
convessa In
, #fe
I)
(Xf 1
f"(x) concava
0 I
in
" (x) (E Il
f fè convessa
strettamente I
=
o in
fe
(1)
(x)
f" (X = strettamente
10 concava I
In
f'(x)
convessita monotonia
e :
b)
(a
b]-
f [a PIR derivabile in
Sia : ,
, -
è
f è
f(x) monotona crescente
#D
convessa è
è f(x) decrescente
concava monotona
#D
-
punti flesso
di :
(a Lo f(9 .
f b) dif
grafico
b)
PIR tangente
Esiste Il punto
la al
retta dice
si
: to
- ,
, , .
di flesso f
per
punto se : é
- dx in
convessa
concava un su
interno
intorno e
un
in
fe concava
e
su se
intorno
intorno
convessa in in
un un
#
b)
(a
f derivabile
PIR 2 volte
e
: -
, f"(x0)
di
è flesso
punto
↓o 0
un = = di
-
f(x)
approssimare
voglio numero
10.
per a
vicino
e calcolate
derivate
G di di ocxnl
di ordine
Taylor da fe
zo generato
centro
polinomio n
, 5
--
LIMITI PUNTI CRITICI
(a bl-PIR
f volte
derivabile
Sia n
in to
: , fl(x) 511(X)
f(x) 0
0
e 0
con 2
> =
= = , ,
,
1)(x)
f(n f(x0)
- 0 + 0
= ,
---
DISPAR
N
part
n
in)(X0) è
locale
f flesso
allora to
minimo un a
zo
o =
finl (vo) tangente orizzontale
locale
allora massimo
zo
o =
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