Definizione dei limiti infiniti

Limite infinito + di una funzione in un punto

Sia g(x) una funzione definita in un intervallo [a, b] escluso al massimo un punto c interno ad esso.

Si dice che f(x) per x -> c ha per limite infinito

lim_x->c g(x) = ±∞

Quando in corrispondenza ad un numero positivo arbitrario M si può sempre determinare un intorno completo H del punto c tale che per ogni x ∈ (a, b) ∩ H distanto da c risulta

|g(x)| > M

In particolare, se in (a, b) intersecato H escluso c, vale sempre

g(x) = π

maggiorante

Si dice che un insieme E è limitato superiormente quando esiste un numero reale b che risulta maggiore o al piu uguale di ogni numero E, b si chiama maggiorante

g(x) > π

f(x) > π

y = 1/(x-2)²

Studio di Funzione

lim g(x) = ∞x→c

g(x) : X → ℝ

∀ M ＞ 0 ∃ ξ ∈ H - {ξ} → ∃(x) ＞ M

Esiste sempreun intorno completo del P.C., escluso il P.C. stesso

g(x) : X → ℝ

∀ M ＞ 0 ∃ ξ ∈ H - {ξ} → g(x) ＞ M

Scelto un num. positivoarbitrario

y = 1/(x - c)²

• Disegno Assi
• Disegno un punto c verticale
• Disegno Funzione
• Considero M e lo disegno
• Traccio i punti di incontro tra M e la funzione
• Posso vedere chequalunque x appartenenteall’intornola funzione un’autta inquesto intorno è ＞ di M

Ampiezza intorno dipende da M

lim g(x) = -∞x→c

g(x) : X → ℝ

∀ M ＞ 0 ∃ ξ ∈ H - {ξ} → g(x) ＜ -M

g(x) ＜ - M

Limite infinito di una funzione all'infinito +

Sia f(x) una funzione definita in un insieme contenente un intervallo illimitato. Si dice che f(x) per x→∞ ha per limite +∞

lim f(x) = +∞

Quando in corrispondenza ad un numero positivo arbitrario M è sempre possibile determinare un numero N tale che

|f(x)| > M → f(x) > M

risulti soddisfatta da tutti i valori di x per cui

x < -N

In particolare se:

Per x < -N risulta f(x) > M allora

lim f(x) = +∞