Definizione dei limiti infiniti

Limite infinito di una funzione in un punto

Sia g(x) una funzione definita in un intervallo [a, b] escluso al massimo un punto c interno ad esso. Si dice che f(x) per x -> c ha per limite infinito

Definizione di limite infinito

Il limite di g(x) per x → c è ±∞ quando, in corrispondenza ad un numero positivo arbitrario M, si può sempre determinare un intorno completo H del punto c tale che per ogni x ∈ (a, b) ∩ H distanto da c, risulta:

|g(x)| > M

In particolare, se in (a, b) intersecato H escluso c, vale sempre:

• g(x) > π
• f(x) > π

Sia data la funzione y = 1/(x-2)². Lo studio di funzione per il limite

lim g(x) = ∞ x→c

dove g(x) : X → ℝ e per ogni M > 0 esiste ξ ∈ H - {ξ} tale che esiste (x) > M.

Intorno di un punto c

Esiste sempre un intorno completo del punto c, escluso il punto c stesso:

g(x) : X → ℝ

∀ M > 0 esiste ξ ∈ H - {ξ} → g(x) > M

Scegliendo un numero positivo arbitrario:

y = 1/(x - c)²

Disegno e visualizzazione della funzione

Disegno degli assi e un punto c verticale, insieme alla funzione. Considero M e lo disegno, tracciando i punti di incontro tra M e la funzione. È possibile vedere che, qualunque x appartenente all'intorno, la funzione in questo intorno è > di M. L'ampiezza dell'intorno dipende da M.

Limite infinito negativo

lim g(x) = -∞ x→c

dove g(x) : X → ℝ e per ogni M > 0 esiste ξ ∈ H - {ξ} → g(x) < -M

g(x) < -M

Limite infinito di una funzione all'infinito

Sia f(x) una funzione definita in un insieme contenente un intervallo illimitato. Si dice che f(x) per x→∞ ha per limite +∞

Definizione di limite infinito all'infinito

lim f(x) = +∞

Quando, in corrispondenza ad un numero positivo arbitrario M, è sempre possibile determinare un numero N tale che

|f(x)| > M → f(x) > M

risulti soddisfatta da tutti i valori di x per cui x < -N. In particolare, se:

Per x < -N risulta f(x) > M allora

lim f(x) = +∞