Funzioni di più variabili: definizione, continuità, limiti, derivate, Jacobiana, analisi dei punti critici

Funzioni di più variabili 06-03-18

martedì 6 marzo 2018 14:38

Def:

f : Rⁿ → R

x = (x₁,...,x_n) → z = f(x₁,...,x_n)

x vettore di n componenti

Detto anche: vettore di Rⁿcoordinata (i cui assi corrispondono alle coordinate sul piano)

Def:

g : Rⁿ → R^m

• x = (x₁,x₂) → z = f(x)
• es: g(x₁,x₂) = x₁x₂ (x,y,z) ←→ (g,x,y) f(x₂,y) = 2y/x_y

f : R² → R

• (x₁,y₂) → t → p(x1,y1)
• es: f(x₁,y) = x₂ + e^t

NB: piuttosto di studiare le seguenti proprietà

• dominio
• limiti
• derivate
• continuità
• sostituire il buco

es: f : R¹ → R²

• c = x = f(y,z) risultano i di dimensione minimale anziché agli opposti di punti (nel piano (x,y)) una z ¹ (es: f₃,y1,z1) rappresenta una superficie nello spazio

f : R² → R

NB:

• essendo di due dimensioni possono comunque essere scritte facilmente

Def: CURVE DI LIVELLO

Sono similari

f(x,y) = k parte di formula indiretta

• servono come una "traccia" nell'area di una fig.

z = f(x,y)= z = xy^z Det: la curva di livello è il grafico di f_n.

Dobbiamo risolvere f(x,y) (k,x) ↑ xⁿ + x^f + x^g con k∈R

• k > 0 → A₃ ↑ o
• k < 0 → A₀[0,1000} ↓
• k ≈ 0 → x Ăà circonferenza di c o r

paraboliche

Appunti Pagina 1

x >= 0 → λ_x circonferenze di centro O e raggio λ_x

DOMINIO DI FUNZIONI DI + VARIABILI

Stesso svolg. già visto per le funzioni di una variabile

en.

1. f(x, y) = log(xy), c.e. x > 0 y > 0

cercate le condizioni del dominio.

(disegno il piano per valutare il dominio)

2. f(x, y) = √(x - y) + √(x + 2), y >= 0 c.e. y < x + 2, y <= x

calcolate le condizioni del dominio.

(disegno solo il piano su valori sopra il profilo di x²)

3. f(x, y) = √(x² + y), c.e. x² - y >= 0 y >= -x²

4. f(x, y) = √(x² + y) - (x³ - y²), x > 0 > 0 c.e. x² + y² > 3, pon. non rappresentabile direttamente

Appunti Pagina 2

1_small< 1_cosh<e

< lim e^x = 0

x -> -∞

Disponi lim e^-x = 0

x->+∞

lim x²e^-xf(x)- x ->+∞

Coord. polari

x = s cosa

y =s sin⁡o

Magggiorazioni

sin c0<s1

|cosac|< 1

log a << e

Altre maggiorazioni:

|sin a|<|x|

log a c 6 = x

Dimostrare che:

lim (sin(2x)) / (x²) = 0

x->+∞

lim(x→0

p l_qsin

p→∞ sin_αβaβh→

y=0

x-ρ→α

y→→u

Dimostrare che:

lim 3x = 0

x-y=ax²→0

f→_josh a-xr⁵

t →

15-03-18

giovedì 15 marzo 2018

INTERPRETAZIONE GEOMETRICA DELLE DERIVATE IN PIÙ VARIABILI

∂z/∂x = deriv. x → f(x₀, y)

∂z/∂y = deriv. y → f(x, y₀)

P₀ = (x₀, y₀, f(x₀, y₀))

∂t/∂x , ∂t/∂y sono i coeff.

angoli delle tangenti

alle due curve

T_x alle curve f(x, y₀)y = y₀z = f(x₀, y₀) + ∂f/∂x (x₀, y₀) (x - x₀)

T_y alle curve f(x₀, y)x = x_oz = f(x₀, y₀) + ∂f/∂y (x₀, y₀) (y - y₀)

Il c.e. del piano che contiene le due rette tangenti

Def: Se f é derivabile nel punto (x₀, y₀), f è differenziabile in (x₀, y₀) se

k → 0

la diff. Tot. e il piano tangente si picch. in tutti le

direzione

OSS: la def. di diff. in RI si scriv. in forma ventoriale

f (x₀ + t) = f(x₀) + ∇f(x_o)xt + R(h)

Appunti Pagina 11

Conclusione: es. di tre spe critici:

(0,0), (SE, SE), (SE₁, 0)

MATRICI DEFINITE POSITIVE ( E NEGATIVE)

Def: Sia M=[a_ij] con i,j=1,...,n una matrice quadrata di ordine n

Se chiamiamo sottomatrici principali di M le matrici:

M₁=a₁₁ M₂=(_{a11 a12 a21 a22}),...,th a.s M

Def: La matrice M è

1. definita positiva se det(M_k)>0 k=1,...,n
2. definita negativa se

(-1)^kdet(M_k)>0 K=1,...,n

cioè

det(M₁)0

det(M₃)