Funzioni di più variabili: definizione, continuità, limiti, derivate, Jacobiana, analisi dei punti critici

Funzioni di più variabili 06-03-18

martedì 6 marzo 2018         14:38

Funzioni reali di più variabili

Def: \( f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \) \( x = (x_1, x_2, ..., x_n) \to z = f(x_1, x_2, ..., x_n) \) \( f \) è definita in un aperto Definita vettore in Rⁿ

Conclusione: \(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\)\( f \) definita in un aperto allora \( n \) è reale N.B. Standard: variabile \( x \) → \( \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2 \) \( f:(x, y)\mapsto z \quad z = f(x,y) f(x,y) = x^2 \cdot y \] \[\[f(x,y) = \frac{2x-4}{x+y} \)

es. \( f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} \) (x,y,z)\( \mapsto z = f(x,y,z) z = ln(x + y + z) \] \[ z = e^{x^2} \)

NB: Impariamo a studiare le seguenti proprietà:

• dominio
• continuità
• derivabilità
• integrabilità

es. \( f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \) 1. \((x,y)\mapsto z = f(x,y) \) essere due dimensioni \( (x,y) \) ad ogni punto \( x)(x,y) \) non è.2. \( z = f(x,y) \): rappresenta una superficie nello spazio \( f(x,y) = x^2 + y^2 \]

Def: Curve di livelloSono succ di insieme:\( L_k = \left( (x,y): f(x,y) = k \right) \medskip \text{tutte k part dell'insieme } Servono x avere una traccia del grafico di xN.B. \((f(x,y) \leq k ) \] \text{Det le Curve di livello st grafiche di f(z)}Dobbiamo risolvere \( f(x,y) = x^2 + y^2 = k \left\ x,k \in \mathbb{R}

• k < 0 &Rightarrow &emptyset
• k = 0 &Rightarrow P
• k \in (0,...) \Rightarrow [0,0]
• k >>0 \Rightarrow \)(x,y) = circonferenza al centro o c. r=R

paraboliche

Appunti Pagina 1

Funzioni di più variabili 06-03-18

martedì 6 marzo 2018 14:38

Funzioni reali di più variabili

Def₁ f: Rⁿ → R

x = (x₁, ..., x_n ) → z = f(x₁, ..., x_n )

- vettore in n componenti

Definizione vettoriale f: Rⁿ → R^m

Codominio: R → R

(cf coincide ad ogni altro un n reale)

es. f: R² → R

(x, y) → z = f(x, y)

f(x, y) = x² + y²

(cg coincide adogni altro un n reale)

es. R³ → R → R

(x, y, z) → t = f(x, y, z)

f(x, y, z) = x + y + z

es. f: R² → R

y = f(x, y, z) = e^z

Proprieta

• Definite
• Limiti
• Continuità
• Derivabilità

Def: Curve di livello

Segue da: otteniamo l'insieme

Segue da:

{(x, y)|f(x, y) = c} part del risultante

Siamo su varie tracce ad ogni piano (x, y, z)

f: R² → R → z = f(x, y)

Siamo su dimensioni ai quali non è rappresentabile graficamente

Curva di livello - grafico di f₁

Dobbiamo risolvere f₁(x, y) = c₁ con c₁∈R

k=0 < k=0 gia intersezione

N₂ (0,0) 0 ≤ [0,0.00]

k>0

N₂: circonferenza di centro o e r=R

paraboloide

Appunti Pagina 1

k > x₀ ⇒ Δx = circonferenza di centro 0 e r_k

paraboloide

DOMINIO DI FUNZIONI DI x VARIABILI

Stesse regole già viste per le funzioni di una variabile

es.

1. f(x,y)=log_xy

c.e. x >0 x >y>0

x >x₀ >0

casuale il tencerlope del dominio

(disegna solo il piano per vedere il dominio)

2. f(x,y) = √y - x

c.e. y≥0 y≥x+2

3. f(x,y) = √x²+y

c.e. x²+y≥0 y≥ -x²

ricorda solo il pt. da studiare supera il profilo di -x²

4. f(x,y) = √x² - e^t y + x

c.e. x>0

x²+y>0 c.e. x²+y >0

(può non rappresentarle chiaramente)

Appunti Pagina 2

08-03-18

LIMITI E CONTINUITÀ DI FUNZIONI IN PIÙ VARIABILI

Def: Dato _{2 x1, y1}, _{2 x2, y2} ∈ ℝ², si definisce norma di u la qtc:

||u||₂ = √((x₂ - x₁)²+(y₂ - y₁)²)

Def: dati x₁, x₂ ∈ ℝⁿ, u=(x₂-x₁) ∈ ℝⁿ si chiama distanza ||u||₂ = d₂(x₁, x₂) = √((x₂¹ - x₁¹)² + (x₂² - x₁²)² + … +(x_n² - x_n¹)²)