Continuità delle funzioni

DEFINIZIONE DI LIMITE (CONVERGENTE)

I limiti di funzione possono essere calcolati solo per le funzioni il cui dominio e codominio è una

ℝ ℚ

porzione o anche tutto di (va bene anche ma nell’esame si incontrano solo le funzioni reali).

: ⟶ ℝ

Data una funzione ( si legge f definita da A a R, cio funzione di dominio A e di

lim =

codominio R) supponiamo che . Per verificare ciò occorre considerare uno

→

()

“sbarramento” e vedere se sia possibile individuare delle particolari, cioè che le rispettive

.

siano capaci di avvicinarci a con una precisione maggiore di La proprietà di densità dei numeri

.

reali ci assicura che questi esistono e che fanno parte di un certo intorno di Scriviamo questa

regola con notazione specifica:

∀ > 0 , ∃ > 0 . . ∀ ] − ; + ⇒ − ; + [

> 0 ] − ; + [

Fissando un (arbitrariamente piccolo) si può costruire un intorno di cioè

> 0 ] − ; + [

poi si può individuare un che consente di costruire un intorno di cioè .

()

Consideriamo tutte le che fanno parte dell’intorno di : le rispettive appartengono

. () ()

all’intorno di Se le appartengono all’intorno di significa che la distanza tra queste e

− < ) .

è minore di ( e quindi ci siamo avvicinati quanto volevamo a Un disegno

potrebbe essere più chiaro. 2

= = 4.

Esempio numerico: consideriamo la funzione . consideriamo nel dominio il punto Il

= 2 lim = 2 ().

rispettivo valore della funzione è , per cui si può dire che Si

→

= 0,2 = 0,76.

fissa ed è possibile individuare un Il grafico sottostante evidenzia che:

 , ()

scegliendo una appartenente all’intorno di appartiene all’intorno di (punto P)

 ∉ , ()

scegliendo una all’intorno di non appartiene all’intorno di (punto M)

PUNTI DI ACCUMULAZIONE E PUNTI ISOLATI

:

In un insieme è possibile individuare dei particolari punti, detti punti di accumulazione di si

chiamano così perché è sempre possibile costruire un loro intorno in cui è presente almeno un

punto che appartenga ad (dalla proprietà di densità sappiamo che se c’è un punto, allora ce ne

.

sono infiniti). Per cui nelle vicinanze di questo punto si “accumulano” punti di Per rendere più

rigorosa l’analisi, nell’intorno si esclude il punto stesso, creando quindi un intorno forato. Per

intorno forato s’intende l’intorno di un certo numero togliendo quel numero. Dato un generico

punto si dice che esso sia un punto di accumulazione per se e solo se avviene che:

0

∀ >0 − ; + ∖ ∩ ≠ Ø

0 0 0

Fissando un qualunque come range dell’intorno di abbiamo che quest’intorno, in cui

0

togliamo , contiene sempre almeno un elemento di (per cui l’intersezione è diversa

0 :

dall’insieme vuoto). La definizione non assume che debba appartenere ad infatti i punti di

0

frontiera non appartengono all’insieme ma sono punti di accumulazione.

Si definisce ora il punto isolato: un generico si dice punto isolato per se e solo se avviene che:

0

∃ >0 − ; + ∖ ∩ =Ø

0 0 0 3

Fissando uno specifico come range dell’intorno di abbiamo che quest’intorno, in cui togliamo

0

, non contiene nessun elemento di (per cui l’intersezione è uguale all’insieme vuoto). Si può

0 ,

determinare un tale che l’intorno di contenga elementi di tuttavia ciò non avviene sempre.

0 ] 4 ; 9 [

Esempi numerici: consideriamo l’insieme aperto

 ,

il numero 5 è certamente di accumulazione: qualunque suo intorno contiene elementi di

inoltre 5 appartiene ad

 il numero 9 è di accumulazione: alla sua sinistra (i numeri più piccoli di 9 fanno tutti parte

.

di e nessun può escluderli: si segnala che 9, punto di frontiera, non appartiene ad



Il numero 3 è punto isolato: è possibile infatti scegliere un (per esempio 0,5) costruire

] 2.5 ; 3.5 [ .

l’intorno e vediamo che nessun punto di questo intorno appartiene ad

CONTINUITA’ DELLE FUNZIONI REALI

La continuità di una funzione si può definire, in termini intuitivi, come la coerenza dei valori della

funzione intorno a un valore dato: si tratta di un concetto locale, che va indagato in un punto

specifico del dominio. Specifichiamo che la continuità ha senso di essere indagata solo ed

esclusivamente nei punti appartenenti al dominio: nei punti che non appartengono al dominio non

ha senso verificare la continuità. Essendo la continuità un concetto locale, occorre considerare

come sono fatti i punti del dominio, cioè se essi siano punti di accumulazione o punti isolati.

: ⟶ ℝ

Considerando una funzione si possono distinguere due casi:

 ∈ è un punto isolato. In questo caso la funzione viene considerata certamente

.

continua nel punto

 ∈ ()

è un punto di accumulazione. In questo caso possiamo calcolare il valore e

lim = ()

deve verificarsi la seguente condizione: . Tale condizione implica che

→

debba verificarsi anche l’uguaglianza tra i limiti destro e sinistro, cioè

lim = lim () = ()

− +

→ →

In generale, se la funzione risulta localmente continua in tutti i punti del suo dominio, allora la

funzione si dice globalmente continua. = ln() = ∀ ℝ \ > 0

Esempi numerici: consideriamo la funzione (il cui dominio è )

− +

= 4 ⋍ 3,99 , ⋍ 4,01

di cui mostro il valore nel punto ,

a 3,99 4 4,01

f(a) 1,384 1,386 1,389

= 4

I valori della funzione sono molto simili tra loro e ciò conferma che è continua in 4