Continuità

FUNZIONI CONTINUE

DEF

f : X ⊆ R → R e sia x₀ ∈ X

f si dice continua in x₀ se

x₀ è isolato

∃ lim_x→x0 f(x) = f(x₀)

CONSEGUENZE

• f elementari sono continue nel loro dominio

— Algegra delle f continue

• Se f, g sono continue in x₀ ∈ dom (f) ∩ dom (g)
• allora lo sono anche:
• f + g
• f - g
• f / g
• c · f

PERMANENZA SEGNO

• f : X ⊆ R → R continua in x₀ ∈ X f(x₀) > 0
• allora ∃ intorno di x₀ t.c.: f(x) > 0 ∀ x ∈ V ∩ X

— Continuità f o g

• f : X ⊆ R → R f continua in x₀
• g : Y ⊆ R → R g continua in x₀
• sia f(x) ≤ y
• ⇒ g o f è continua in x₀ ∈ X

CONTINUITÀ DA DX e DA SX

• Se ∃ lim⁺_x→x0 f(x) = f(x₀)
• continuità ⇔ continuità
• da dx e sx

permanenza segno

supponiamo che _k→∞ f(a_k) > 0

ora f(a_k) è una successione con limite strettamente positivo

→ f(a_k) > 0 definitivamente

COROLLARIO

siano f, g : [a, b] → ℝ continue

t.c. f(a) < g(a) ∧ f(b) > g(b) ⤇

∃ x_o ∈ (a, b) tc f(x_c) = g(x_c)

DIM F(x) := f(x) - g(x)

soddisfa tutte le ipotesi del teorema degli zeri

∃ x_o t.c. F(x_o) = 0 → f(x_c) = g(x_c)

Massimo e minimo di f

Def \( f: X \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) sia m ∈ R (risp. m ∈ R)

m si dice massimo globale

• \(\exists x_0 \in X \) t.c. m = f(x_0) ≥ f(x) \(\forall x \in X\)

m si dice massimo locale

• \(\exists x_0 \in X\), \(\exists U\) intorno di \(x_0\) t.c. m = f(x_0) ≥ f(x) \(\forall x \in U \cap X\)

m si dice minimo globale

• \(\exists x_0 \in X \) t.c. m = f(x_0) ≤ f(x) \(\forall x \in X\)

m si dice minimo locale

• \(\exists x_0 \in X\), \(\exists V\) intorno di \(x_0\) t.c. m = f(x_0) ≤ f(x) \(\forall x \in V \cap X\)

Notazione

• \(\max_X f\) \(\max_{U \cap X} f\)