Continuità e discontinuità funzioni

FUNZIONI CONTINUE, DISCONTINUITÀ

1 y = ²/_x

LA FUNZ. È DEFINITA ∀ x ≠ 0, QUINDI IN x = 0 HA UN PUNTO DI DISCONTINUITÀ

limx→0+ 2/x = 2/0+ = +∞

limx→0- 2/x = 2/0- = -∞

⇒ SI TRATTA DI DISCONTINUITÀ DI 2° SPECIE

2 y = ^x2-4x+4/_x²-3x+2

LA FUNZ. È DEF. PER x²-3x+2 ≠ 0 ⇒ (x-2)(x-1) ≠ 0 ⇒ { x ≠ 2, x ≠ 1 }

QUINDI x = 2 E x =1 SONO PUNTI DI DISCONTINUITÀ PER LA FUNZIONE.

limx→2+ x2-4x+4/x2-3x+2 = limx→2+ (x-2)2/(x-2)(x-1) = limx→2+ x-2/x-1 = 0+/1 = 0

limx→1+ x2-4x+4/x2-3x+2 = limx→1+ x-2/x-1 = -1/0+ = ±∞

SICCOME PER x=2 IL LIMITE ESISTE FINITO MA LA FUNZ. NON È DEFINITA, TALE PUNTO È DI DISCONTINUITÀ ELIMINABILE. È POSSIBILE RENDERLA CONTINUA COSTRUENDO LA NUOVA FUNZIONE:

ȳ = ^x2-4x+4/_x²-3x+2 PER x ≠ 2

0 PER x = 2

Valore del limite

INVECE x =1 È UN PUNTO DI DISCONTINUITÀ DI 2° SPECIE.

3

y = ^x2+2x-8/_1×+4

Posso scrivere ^x2+2x-8= (x-2)(x+4)

1x+4|= + | | per x>-4

|= - | | per x<-4

Posso riscrivere la funzione come:

y = ^(x-2)(x+4)/_x+4 = x-2 per x>-4

-^(x-2)(x+4)/_x+4 = -x+2 per x<-4

I limiti per le 2 diverse condizioni sono:

lim x-2 - 4-2 = -6

lim -x+2= -( -4)+2= 4+2=6

La fun. ammette sia limite dx che limite sx, finiti

ma diversi tra loro ⇒ x =-4 punto di discontinuità

di 1ª specie, avente

salto pari a 12:

Salto = limite sx - limite dx = 6-(-6)=6+6=12

y = { g^x + a    x < 1/3log_g(x)    x ≥ 1/3

Deve essere g > 0 (la base dell'esponenziale deve essere positiva)

Per x < 1/3 la funzione è continua perché composizione di funzioni continue.

Per x >= 1/3 è continua perché (il logaritmo è una f. cont.) composiz. di funzioni continue.

Si deve controllare la continuità in x = 1/3, dovrebbero esistere finiti e coincidence il limite destro e sinistro della y in tale punto.

lim_{x → 1/3⁻} y = lim_{x → 1/3⁺} log_g(x) = log_g(1/3) = -1

lim_{x → 1/3⁻} y = lim_{x → 1/3⁺} (g^x + a) = g^1/3 + a

Imponendo l'uguaglianza tra il limite dx e sx otteniamo le condizioni che ci assicurano la continuità della funz. in tutto _IR:

g^1/3 + a = -1 ↔ g^1/3 = 1 - a ↔ g = (1 - a)³

Deve essere g > 0 e quindi:

(1 - a)³ > 0 ↔ 1 - a > 0 ↔ α < 1

Per cui la funz. è continua se g = (1 - a)³ con α < 1.