Derivate, continuità, monotonia differenziabilità

Teorema di Weierstrass

Dato un insieme E limitato, sia f una funzione definita su E e a valori reali. Allora f ammette massimo e minimo su E.

Dimostrazione:

Poniamo M uguale al valore massimo di f su E. Supponiamo per assurdo che M non sia un punto di E. Allora esiste un punto c in E tale che f(c) > M.

Consideriamo l'insieme {x ∈ E : f(x) > M}. Questo insieme è non vuoto e limitato superiormente, quindi ammette un punto di accumulazione a.

Sia {an} una successione in E tale che an → a. Poiché f è continua in a, abbiamo che f(an) → f(a).

Ma dato che f(an) > M per ogni n, abbiamo che f(a) ≥ M. Questo è un assurdo, perché avevamo supposto che f(c) > M.

Quindi, M è un punto di E e f ammette massimo su E.

In modo analogo, si dimostra che f ammette anche minimo su E.

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