Derivate
Esempi Gf
media
pendenza =
µ
☐
" " limite
pendenza sarà DX
punto
punto 0
La per un per → .
0£
velocità
Moto rettilineo media
: =
E
velocità line
istantanea
la è St
Dtnso
DI ad
interno (
A )
I
3
dice A
punto solo
un A E
si
E to
xo se
e
se
)
(
I to A
( ) i
t
M
E lo Ì
(F)
☒ ad
E a
I interno
è
non A
→
Def IR solo
IR di derivabile
che
dice
A
interno
dato
a
Data c- punto
f è
se
si in
→ e se
xo se
: xo
e ,
skothq-tkol-i.am &"% [
finito ein ]
esiste 1
: a no
o ✗
→ →
derivata
derivabile di
lo è chiama
si il
in in
se valore
g
xo xo :
,
tolto h ) )
(
f
+ xo
' ( ) -
line
8 to = h
h o
→ /
I È
( ) È
Notazioni alternative )
(
D8 )
: to (
xo co
,
, ,
di ✗
Defrel ] limite
il
cui
in esiste finito finito laterale
[ esista
1 non
caso :
ma
,
&(•+%-&"÷ dliuatadlstra-dif.eu
da
derivabile destra
che è to
dice dice
si
line si
in
si :
e
xo
,
+
q •
→ ""+%-g
s' ( ) line
to =
+ ox
a →
derivatasiuistra-ossewaz.edu/l
! (
modo )
analogo la
In è
g to
, anche ad
di derivata in
quando è
ha è definita
destra f tutto
concetto interno
non A
lo ma
senso ,
destra di
intorno xo
un .
Es '
interno sinistra
Muto intorno )
tutto Iko
e EA a
c- a
qui xo ma
[ _ ,
,
di da
xo a
fuori
sono
È definita
1) solo
fcx ) per o
× ,
= A-
è al [ )
dominio
interno
punto
xo o non 0,1-0
= ,
312
☒÷ '
"
8C0+%8 q a O
= →
= =
a- h +
→ ☐
destra s'
è derivabile da in (a)
g 0 0
xo = =
+
,
} )
(
)
2) fcx a
✗ +0
O
=
= - , dominio
del
0=0 è interno
punto
✗ %
SCII '
e o
= = →
hs o f'
derivabile 01--0
è in (
g con
o
↳ =
E derivabile interno vale
destra
dominio anche sinistra
da
da
se è
è
lo al lo
in e e :
xo ,
,
f' ' '
Ho
( )
(
)
) 8 8
Xo to
=
= + _
Convenzione "
"
dicendo derivabile
di dire
intende
in f
intorno destro in
definita solo
è to si
te
g
se un ,
" "
da
derivabile destra in xo .
E
Quindi derivabile
che
derivabile da
) }
che in (
diremo è
nel
è destra
)
0
fa xo senso
= = .
altroesemp.es
/ 1
e) ✗
= "
"
Rapporto incrementale in
centrato xo 0 :
=
{
8G+%→÷ ci
^
Ietf se
1¥ > °
=
= = hco
1 se
-
"°+%→
line ,
±
=
±
e. → ☐ s'
ft ( )
derivabile (a)
destra da
da sinistra 1
è in 1
8 0
0 con e
e = = -
-
,
derivabile
è
NON
f in ✗ o
=
aetracouvenziaue.se "
" s'
limite
il 1) essendo
[
[ esiste si scrivere
] (a) g
vale + o
O PM
o usa non
o
una co
+ =
_ 1
]
[ io
-
derivabile definizione
la
secondo
in xo .
Desse A'
'
R funzionalità
è di R
derivabile in g)
di
più di (
dice funzione
si la f
a punto A
f →
:
un
→
: : ,
,
' '
' derivabile
di
dei punti è
che essendo
valore
ogni )
ad insieme
associa (
il
A in cui
A
e
a
g
✗ E g
× . .
,
importanti
Esempi da imparare
→
1) derivabile
è R
)
eolx è C- con
✗
= '
è+[ ^
e è
è
' line è
line - 1
)
(
8 =
× .
= =
= g-
h h
o
→ o
→
" è
de =
2) derivabile
)
( log
8 tx
è
|
/
× o
# con :
✗
= •8l( È )
•8l% f-
( " +
↳
eimeoookthf-loookl-ee.eu ⑦
s' eine ein
A) ±
= =
=
= G
h o
h
h a
→
o o
→ →
→ o 1
E
( E)
perché log + ~ ✗ È -1
§
h
definitivamente sarà
o
per 0
→ >
→
, ,
/
¥
log ¥ È È
D I
/ V-x.to 1
1 /
✗ 1
o +
+ +
= > =
3) derivabile
¥ è
)
fa :
con
o
✗ *
=
s' ( ) line
line %
"
× =
=
= = -
no
a. no
o :
È
f-
D =/ 0
✗
= - derivazione
di
Regole aritmetiche
operazioni
Derivata
1) e derivabili in
siano Allora
8 xo :
e g .
'
( ' (
&
( ) )
g) ( )
a) ft to
g
to co +
= ' (
'
b) (
( )
(
g) '
) alto
)
( ) di
)
( REGOLA
) LEIBNITZ
8
8 to
g. to co
g +
xo
=
l' che
c) geo
ipotesi )
con ulteriore sia 7 0 :
g'
" )
(G) 84×0 (
) Eko ) to
) secco
( ) . -
-
to = 2
]
gcxo )
[
dire )
) gcxo
81×1+84 Seko
( ) )
( g)
(
( )
g) ft
ft × co -
-
-
a) =
= X lo
✗ to -
- )
(
fa flxo)
) )
84 8 to
- '
- s' ) )
(
( ☒
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+
+
= ;
✗ ✗ to
lo ✗
- →
- [ [
8K) ]
) ]
8A )
94
)
) ) tocco
fcx) 840 glio gcx )
gcx )
940 )
b) +
- -
- =
= lo
X
to
✗ -
- )
84 qo
) ") &
&
- - s'
)
(
' ) )
) gcxo
)
( (
gcxo (
) to
f
g to
g
× co +
= >
+
µ
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✗ ✗ lo
- → )
è )
derivabile
il in
che
è fa
allora Seko) )
B
v. fatto Secco
gcx
usato
si lo
se →
o
xo →
. -
, , ho
lo ✗
✗ →
→
perché
Questo incrementale
rapporto
il :
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può essendo
solo
limite Seko
)
84 )
finito ✗ lo
0 o
avere se →
→ -
,
- ✗ xo to
→ ✗ → Ba
evitiamo di
c) d'un
fare
ora
per elementari
derivazione funzioni
Regole di per
2) " è I
/
blog
de ¥ I
¥ DI
f-
D
✗ 1=0
✗ ✗
✗ per
= sgu
= = =
- ,
,
↳ di
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cui
✗
per per senso
( )
DC è
dove costante
funzione
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= 1
DX = a -1
'
DX ✗ ✗
=
D ×
✗ con
sen =
D ✗
cos sen ×
= - 1-
tank
tg
D 1 +
✗ =
= cosa ×
÷
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Darsele ✗ = E
:#
Davos ✗ = 1
D artg ✗ = 2
1 + ✗
Chex
tax
D = Shx
Cha
D = ? ÷
Thx
D Th
1 ✗
= =
-
1¥
Slash
D ✗ = 1
seltclrx
☐ = È
1
Selttlrx
D = 2
1- ✗ valide
B espressioni
regole
v. Tutte valori di hanno
le
i quali
queste i
per senso
per
×
sono
. ,
il che
sinistra destra
membro
sia a
per a )
di della catena
3) derivata (
funzione regola
composta
Teorema sulla o
derivabile
derivabile derivabile
8
sia vale
è
in )
sexo gof in
Allora
in xo
e yo
xo e
g :
= .
'
( ( s' )
) ' )
8) Cxo
( )
840
to g
go = .
Esempi )
(
D 3 0+1 +
1
cosi cosx
selex
t
✗
+ +
= = ( )
f)(
funzione composta (3×+1)
8K)
×
go con :
' =
•
6+1>(3×+1)
[ ( ]
✗
D = to
Lt
)
ÉTÉ 8 =
' '
• )
[
(3×+1) (
( ) )
D d
+1
+1 ✗
✗ + =
= . . + +
(3×+1)+-3 3×6 5+4×6
' •
[
6×5 6×5
71 (3×+1)
)
(3×+1) ] (
(3×+1) (
(3×+1) ( 8 ✗ 6-
24 +1 4)
✗
✗ ) +
+ +
=
= =
+
= .
.
(3×+1)=(7×6++5+4)
6
= di
particolare
Caso Leibniz :
( ) )
) D
84 84
D c.
c. = log ×
( 1-
÷
1 D D
D logzx 1
1 logx
)
✗ + + +
+
= =
= 2
log
✗ -
> }
) > > } ?
( ¥
?
✗
log log 3
lag log
log
D log
1 log
DX
D 3
×
×
✗ ✗
✗
✗ × ×
✗ = +
+
.
=
+
= teorema che dimostreremo futuro
in
Anticiperanno un ,
condizione )
alla
( sufficiente monotonia
teorema ' (a)
( sull'
) )
b) b)
(
(a) strettamente
8 ] derivabile crescente
sia C Allora
E
in 8
[ ,b lo è
✗
E 8 × o
con
a >
, .
]
[ < [ decrescente ]
]
[
intervallo ,b
a .
À
4)
' 0
<
&
Esempio -2×2 2)
" 2-
? (
)
fcx ×
✗ ✗
=
=
studiare la di
determinare
monotonia estremo
punti
e
4×3-2.2
À 2-
) ( 1)
( Gx
× ✗ ✗
= =
>
4×70 70
✗
⇐
2-
✗ V
1 71
E 1
)
o
> ✗
⇐ ✗ - 1
°
1
- ¥ f- è
.
. -
. .
-
- . .
. \
\ /
/
In teorema
base al :
[ ,
µ
,
è no
g »
umana su e ,
] [
tw
è ]
decrescente 0,1
-1
g su e
,
di
✗ è minimo
-1 punto
un
= di
è massimo
punto
✗ un
o
= di minimo
punto
è
1
✗ un
=
Inoltre )
è perché )
fcx
pari Il
se
: × =
-
2- Fa
E ✗
)
SCX v
o o
> -1-0 <
2
> ⇐ ⇐ ✗
)
n
✗ > >
✗ -
continuità limite
di
metrica
def
assomiglia alla . ,
Def diversa
è
ma
q SKIJ
R
IR
f a c- →
sia : {
è 18
'
i
detta '
si
solo
continua s
→ )
E × "
c- <
"
si a "
" °
e >
se se °
- -
i A
E
✗ def limite
nella di non
.
considero iuxo
succede
cos a ,
invece definita
qui sei in
E
+ flxo)
considero
quindi
lo
E
suo) - ,
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)
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e _ .
,
S
✗
o - ✗ o
Ricordiamo : )
/ )
E E
18h E ) suo) 8k
fcxo
) E <
Seo
gcx
) ) E suo +
< <
> <
⇐ <
- -
-
-
Teorema IR
R
c-
a
8
sia →
: di a)
di
dia
accumulazione che
sia punto
oltre
punto (
A Allora
xo c- :
.
in )
Seo
è continua )
line Six
lo to =
l o
✗ →
dive sia lo continua )
(
in allora :
xo
• ,
I (
/
E Jd )
flx ( E E
+ Ig ma
0
> )
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f
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×
xo
, - {
vale
In particolare }
/
) vale Ispo
)
Ifcx )
E
<
fcxo E
✗ lo
nai
-
)
Perciò 81×0
line gcx
) =
✗ xo
→ 0M .
Secco) c'
line ( )
allora relazione molto
è
sia fa > : ⇐ una
• = ,
to
✗ → { }
8 differiscono
E lacto
184 E
) (
) Is
/ stretta
)
3- solo
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<
> xo
c-
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.
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I
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18 /
) ) 8GW
Seo gcxo) < te
) /
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= .
- -
Dunque (
anche
E in
) ) )
Seko (
18K /
) Is
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-
cioè è continua
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xo allora è
A di accumulazione
è continua
di
Oss A certamente
punto
se lo
c- non
ma
✗
o ,
. .
,
Dely continua f è
di
è
B
è dominio
che solo B
dice E continua
Si A dove Keo
si lo
A in c-
su e xo
se
se .
,
, ,
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dice
(
ciò anche B
di
B
C
Se si verifica (
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