Calcolo della probabilità

X

Sia assegnato lo spazio <..> e una VA X(ω) con alfabeto Ω . La VA stabilisce una corrispondenza biunivoca

X

fra i sottoinsiemi di Ω e Ω . Inoltre, unione, intersezione e complementazione sono isomorfe nei due

X

sottoinsiemi.

Sia assegnato lo spazio <...> e una VA. Consideriamo l'alfabeto Ω e l'insieme dei suoi sottoinsiemi Φ .

X X

Abbiamo visto che tramite X(ω) a ogni A in Φ corrisponde un E in Φ. Allora possiamo considerare un

X

secondo spazio di probabilità <Ω , Φ , P > di cui P è una funzione che a ogni sottoinsieme A di Ω associa

X X X X X

()

= ( ∈ ).

una probabilità, ed è definita Si può verificare che P è una misura di probabilità su Ω

X X

e verifica gli assiomi. Si dice probabilità indotta da X.

Gli eventi del tipo X∈A si dicono eventi specificati sulla VA. Questi possono essere specificati a parole o

dando condizioni sulla variabile, e possono essere combinati come quelli definiti sul risultato (and, or, not).

<ℝ, Φ , > con

Più in generale, posso estendere i concetti al campo reale tutto: lo spazio è del tipo

() (⋂Ω )

: Φ →ℝ e =

7.3.1 VARIABILI CONTINUE E DISCRETE

Se Ω è un insieme continuo, X è una VA continua;

X

Se Ω è un insieme discreto, X è una VA discreta;

X

Se Ω è un insieme di interi, X è una VA intera (caso particolare dei discreti).

X

Come la misura P dello spazio originario, anche P e P si possono calcolare a partire da una densità di

X R

probabilità p, funzione che associa un valore reale a un valore reale.

() ≥ 0, ∑() = 1

La densità di probabilità discreta deve soddisfare su tutto Ω ; data questa densità, la

X

()

= ∑()

probabilità dell'evento A è su A.

Interpretazione: p(x) è la probabilità che la determinazione sia x, e si verifica come abbiamo visto con

{} ({})

= = { ∈ } () = = ({ = })

l'evento elementare con A={x}; come conseguenza,

Nel caso in cui VA è intera, la densità si indica p(i) o p i

OSS: fenomeno aleatorio correlato è la densità geometrica: se voglio definire in una VA, quanti lanci faccio

di una moneta sbilanciata fino a quando non arrivo al risultato con la faccia sfavorita? Consideriamo

l'evento A ="esce testa favorita" e il suo complementare A ', e calcoliamo la densità di probabilità di

i i

entrambi gli eventi:

la probabilità che esca testa è q, che esca croce è 1-q;

al primo lancio ho p(1)=P(X=1)=P(A1)=q;

al secondo ho p(2)=P(X=2)=P(A'1 A2)=P(A1')P(A2)=(1-q)q perché assumo gli eventi indipendenti;

2

al terzo ho p(3)=P(A1' A2' A3)=P(A1')P(A2')P(A3)=(1-q) q

ecc k

p(k)=(1-q) q

Questa si chiama densità geometrica modificata di parametro q.

La densità di probabilità continua viene definita su tutto l'asse, invece delle sommatorie ho integrali, e devo

ricordare che P (A) è la probabilità infinitesima che la determinazione sia x, cioè è proporzionale a p(x)dx.

X

Esistono molte densità notevoli adatte a diversi fenomeni di interesse.

Densità uniforme:

() = ()

va bene per VA identità: X(ω)=ω che per es. descrive l'esempio del puntatore

Densità gaussiana: −2

1

() = 2

√2

importante per cose che vedremo più avanti

7.3.2 TEOREMA DI ESISTENZA

In teoria per introdurre una VA dovremmo prima specificare lo spazio sul quale è definita e i risultati e la

funzione di probabilità. Poi potremmo calcolarci la densità sulla base della misura del probabilità dello

spazio.

Nella pratica, con questo teorema che ci assicura l'esistenza di uno spazio che ha una VA nota la sua densità

di probabilità, possiamo ricavarci lo spazio per altre vie.

7.3.3 FUNZIONE DI DISTRIBUZIONE (O DI RIPARTIZIONE)

() = ( ≤ ) = (−∞, ]

Si definisce con

E' definita sia per variabili continue che discrete. Per quelle continue è legata alla densità tramite le

()

() ( ) ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡()

= =

equazioni ∫

∞

Quindi è una funzione crescente, che parte da 0 e arriva a 1.

7.3.4 FUNZIONE DI VARIABILE ALEATORIA

Data la funzione f da R in R, data una VA X=X(ω), Y=f(X)=f(X(ω))=Y(ω) è una nuova VA definita sullo spazio.

La densità della Y si ricava a partire da quella della X.

() () [()]

= ∑ (); =

Nel caso discreto, nel caso semplice della corrispondenza biunivoca, e

[()]

= ()

1

()

= ( );

Nel caso continuo, la VA ricavata Y=aX scalata ha densità se invece Y è traslata Y=X+a, la

||

()

= ( − )

densità è

7.3.5 VA MULTIDIMENSIONALE

Si tratta di un vettore di VA: Z=(X1, X2,...). Studiamo il caso bidimensionale ma le estensioni a caso n-

dimensionale sono ovvie.

2 Ω = Ω ∙ Ω ⁡prodotto

Z=(X,Y)=Z(ω):Ω→R ; l'alfabeto è scalare, cioè a ω viene associata una coppia di

2

numeri reali, che corrispondono a due vettori in R , il cui prodotto scalare dà Z(ω).

Esempio di Z(ω) è l'estrazione del lotto, Z rappresenta il vettore dei numeri usciti.

Sia assegnato lo spazio base <..> e una VA Z con alfabeto Ω , la VA stabilisce una corrispondenza biunivoca

Z

fra sottoinsiemi Ω e Ω . Gli eventi tipo {Z∈A} si dicono eventi specificati sulla VA.

Z

Unione, intersezione e complementazione sono isomorfe.

Assegnato lo spazio base <...> e una VA Z(ω). Consideriamo l'alfabeto Ω e l'insieme dei suoi sottoinsiemi

Z

Φ ; possiamo considerare il secondo spazio di probabilità <Ω , Φ , P > in cui P :Φ →R è una funzione che ad

Z Z Z Z Z Z

ogni sottoinsieme A di Ω associa una probabilità ed è definita P (A)=P(Z∈A).

Z Z

2

Più in generale posso estendere tutti questi concetti a Ω =R e Φ =Φ , ma P (A)=P (A∩Ω ).

Z Z R^2 R Z Z

Anche in caso n-dimensionale si distinguono Z continua (se X e Y sono continue) e Z discrete (viceversa).

2

La densità di probabilità ci aiuta a trovare P e P : la densità di probabilità p:R →R, cioè associa un reale a

Z R

una coppia di numeri reali, quindi sarà funzione di x e y.

Per la densità di probabilità valgono gli stessi risultati per le condizioni da soddisfare e le stesse

interpretazioni.

Esempio estrazione tombola:

Z=(X,Y) con X=primo numero estratto e Y=secondo numero estratto;

calcoliamo p sapendo che non posso estrarre lo stesso numero più volte, ci sono n(n-1) coppie

1

=

possibili e tutte le coppie hanno stessa probabilità . Allora p =q se i≠j e =0 altrimenti.

ij

(−1)

Calcoliamo anche P: trovo A, lo spazio delle possibili coppie, e impostiamo un evento (la somma di X e

Y è tot); poi calcolo P(E) come la somma delle coppie su A dei p(i,j).

Novità in questo argomento sono le densità marginali e congiunta: data Z=(X,Y), la densità p(x,y) (o p(i,j)

caso continuo, discreto o intero), questa p è detta densità congiunta, cioè descrive Z completamente.

Ma X e Y sono variabili che hanno la loro densità, quindi si chiamano densità marginali.

Mentre le marginali si ricavano da quella congiunta attraverso l'operazione di saturazione, la congiunta

non si ricava dalle marginali. () ()

= ∫ (, )⁡⁡⁡⁡⁡⁡ = ∫ (, )

La saturazione nel caso continuo è

() ∑ () ∑

= (, ) ⁡⁡⁡⁡⁡⁡ = (, )

La saturazione in caso intero è (,)

(|)

=

La densità condizionata nel caso intero è l'analogo della probabilità condizionata: e

( | ) ()

rappresenta la densità della Y ricalcolata sapendo che X=i, cioè nota X. Convenzionalmente vale 0 quando

p (i)=0.

X (, (|)

) = ∙ ()

Pensando i variabile, dalla precedente si ottiene e saturando la i si ottiene

( | )

() (|)

= ∑ ∙ ()

( | )

Teorema delle probabilità totali per le densità. Si ripete tutto scambiando X e Y.

La densità condizionata nel caso continuo ha la stessa definizione cambiando i,j con x,y, e nella formula

invece di probabilità ho delle densità di probabilità.

(, (|)

) = ∙ ()

Pensando x variabile, si ha e saturando la x si ottiene

( | )

() (|) ()

= ∫ ∙

( | )

7.3.6 VARIABILI ALEATORIE STATISTICAMENTE INDIPENDENTI

Le VA sono statisticamente indipendenti (SI) se la congiunta è pari al prodotto delle marginali, e in questo

caso le marginali determinano la congiunta. Vale sia per il caso discreto che continuo.

n

Date n variabili, X1..Xn, la funzione f:R →R che associa alle X la variabile Z=f(X1..Xn), è ancora una VA.

n

L'unica operazione utile è la somma di variabili indipendenti: date due variabili X e Y indipendenti, di

densità p e p , data Z=X+Y, la densità di Z p è la convoluzione delle singole densità.

X Y Z

Una VA complessa è una funzione di due VA reali Z=X+jY, quindi è una VA bidimensionale. La sua

descrizione statistica è costituita dalla densità congiunta p(x,y).

Modello molto utile: lancio ripetuto di una moneta sbilanciata

Supponiamo di lanciare n volte una moneta con probabilità q che esca testa e 0 croce. Xi è il risultato

del lancio i-esimo, e può essere 1 se esce testa, 0 se esce croce; la p. congiunta X