Calcolo combinatorio

F G=

dagli n assegnati ! ( − )!

e si legge “n sopra k”, oppure “n in classe

k”.

• =

#,( #,#*(

• = 1

#,#

• =

#,% 2

1.3 ESPERIMENTI CASUALI

ESPERIMENTO CASUALE un esperimento è un processo mediante il quale si osserva il risultato di uno o

à

più azioni o, in generale, di un fenomeno. Esso viene denominato casuale oppure aleatorio, se l’esito o il

risultato derivante dall’esecuzione dell’esperimento stesso non è certo o noto a priori. (es: lancio di una

moneta).

PUNTO CAMPIONARIO ogni possibile esito o risultato di un esperimento casuale viene denominato punto

à

campionario, o evento semplice, e viene indicato con .

SPAZIO CAMPIONARIO l’insieme o la collezione di tutti i possibili risultati alternativi di un esperimento

à

casuale, viene denominato spazio campionario e viene indicato con Possono essere distinti in:

Ω.

• Numerabili: è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra gli elementi che compongono lo

spazio campionario stesso e l’insieme dei numeri naturali.

• Non numerabili: non è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra gli elementi che

compongono lo spazio campionario stesso e l’insieme dei numeri naturali.

EVENTO sottoinsieme dello spazio campionario e viene solitamente indicato con la lettera maiuscola

Ω,

à

dell’alfabeto latino, ad esempio, A, B e C.

EVENTI INCOMPATIBILI due o più eventi sono denominati incompatibili, se il verificarsi di uno di essi

à

esclude il verificarsi di tutti gli altri, altrimenti sono denominati compatibili.

EVENTI NECESSARI due o più eventi sono denominati necessari se, in una prova, si verifica con certezza

à

almeno uno di essi.

EVENTI EQUIVALENTI due o più eventi sono denominati equivalenti, se definiscono sottoinsiemi di Ω

à

uguali tra loro.

EVENTI INDIPENDENTI E DIPENDENTI due o più eventi sono denominati indipendenti se il verificarsi di un

à

evento in una prova non è influenzato dal verificarsi degli altri eventi in altre prove, altrimenti sono

denominati dipendenti.

1.3.1 OPERAZIONI TRA EVENTI

UNIONE DI DUE O PIÙ EVENTI viene denominato unione di due o più eventi, l’evento che consiste nel

à

verificarsi di almeno uno degli eventi considerati.

INTERSEZIONE DI DUE O PIÙ EVENTI viene denominato intersezione di due o più eventi, l’evento che

à

consiste nel verificarsi di tutti gli eventi considerati.

NEGAZIONE DI UN EVENTO viene denominato negazione di un evento, l’evento che consiste nel non

à

verificarsi dell’evento assegnato.

1.3.2 SPAZIO DEGLI EVENTI E PROPRIETÀ

SPAZIO DEGLI EVENTI lo spazio degli eventi, indicato con è una famiglia di sottoinsieme dello spazio

,

à

campionario che soddisfa le seguenti proprietà:

Ω

a) Ω ∈ +

b) ∀ ∈ ∈

c) ∀ , ∈ ∪ ∈ 3

1.3.3 CAMPIONAMENTO BERNOULLIANO, ESAUSTIVO ED IN BLOCCO

CAMPIONAMENTO CAUSALE BERNOULLIANO Assegnata una popolazione, si ottiene un campione casuale

à

di dimensioni n, se la selezione delle n unità statistiche che lo compongono avviene

1. In sequenza, ovvero con estrazioni successive;

2. Con reimmissione dell’unità nella popolazione, dopo ogni estrazione.

Se si ricorre ad un campionamento casuale Bernoulliano di n unità da una popolazione costituita da N

elementi, lo spazio campionario è composto dalle disposizioni con ripetizione di N in classe n e la sua

Ω

cardinalità risulta essere: #

(Ω) = ′ =

,,#

È bene sottolineare che mediante il metodo di campionamento casuale Bernoulliano, la procedura di

selezione è tale da garantire a ciascuna unità della popolazione la stessa possibilità, pari ad 1/N, di

appartenere al campione.

CAMPIONAMENTO CASUALE ESAUSTIVO assegnata una popolazione, si ottiene un campione casuale

à

esaustivo di dimensioni n, se la selezione delle n unità statistiche che lo compongono avviene

1. In sequenza, ovvero con estrazione successive;

2. Senza reimmissione dell’unità nella popolazione, dopo ogni estrazione.

Pertanto, se si ricorre ad un campionamento casuale esaustivo di n unità da una popolazione costituita da N

elementi, lo spazio campionario è composto dalle disposizioni semplici di N in classe n e la sua cardinalità

Ω

risulta essere: (Ω) = ′ = ( − 1) ∗ … ∗ ( − + 1)

,,#

CAMPIONAMENTO CASUALE IN BLOCCO assegnata una popolazione, si ottiene un campione casuale in

à

blocco di dimensioni n, se la selezione delle n unità statistiche che lo compongono avviene

1. contemporaneamente, mediante un’unica estrazione;

2. oppure, in sequenza e senza reimmissione, purché non si attribuisca alcuna importanza all’ordine

con il quale le unità statistiche sono prescelte.

Due campioni casuali estratti in blocco sono considerati diversi se differiscono tra loro per almeno un

elemento, poiché, in tale procedura di campionamento, o non è possibile definire un ordine tra gli elementi

selezionati, oppure l’ordine non è determinante a priori. Quindi, se si ricorre ad un campionamento casuale

in blocco di n unità da una popolazione costituita da N elementi, lo spazio campionario è composto dalle

Ω

combinazioni semplici di N in classe n e la sua cardinalità risulta essere:

(Ω) = ′ = O P

,,#

CAPITOLO 2 – TEORIA DELLA PROBABILITÀ

La teoria della probabilità rappresenta uno strumento matematico indispensabile per lo studio dei fenomeni

casuali, ovvero dei fenomeni le cui manifestazioni non sono a priori. Si intuisce l’importanza di tale teoria in

un contesto inferenziale, in cui l’estrazione casuale di un campione rappresenta un esperimento

caratterizzato da risultati non prevedibili.

2.1 PROBABILITÀ DI UN EVENTO

La probabilità di un evento rappresenta la misura dell’aspettativa che esso si verifichi, qualora si esegua il

relativo esperimento. Nel corso del tempo, al termine “probabilità” sono state attribuite diverse

interpretazione, le quali sono fondamentalmente riconducibili a quattro concezioni:

a) classica

b) frequentistica

c) geometrica

d) soggettiva 4

Tuttavia, una trattazione rigorosa della probabilità, in grado di inglobare le suddette concezioni e superare le

limitazioni presentate da ciascuna di esse, è fornita dalla teoria assiomatica.

2.1.1 CONCEZIONE CLASSICA

Assegnato un esperimento casuale, la probabilità di un evento A, indicato con P(A), viene definito mediante

il rapporto tra il numero n dei casi favorevoli al verificarsi di A ed il numero n dei casi incompatibili ed

A

ugualmente possibili, per cui

-

() =

2.1.2 TEORIA ASSIOMATICA

La teoria assiomatica rappresenta la base per la costruzione matematica del calcolo delle probabilità e

costituisce, ancora oggi, un valido contributo per ulteriori sviluppi teorici. Tale teoria risale al 1933 e testo

stanzialmente attribuibile a Andrey Nikolaevich Kolmogorov.

PROBABILITÀ siano lo spazio campionario di un esperimento casuale ed una – algebra di eventi di

Ω

à

Si definisce probabilità una funzione che ad ogni evento A appartenente ad associa un numero reale,

Ω.

ovvero una funzione di insieme : → ℝ

Che soddisfa i seguenti assiomi:

1. P (Ω) = 1 probabilità dell’evento sempre uguale a 1

à

2. P(A) 0 per ogni evento nello spazio degli eventi è sempre possibile

∀ ∈ , ≥ à

3. ∀ , , … , , . . . ∈ , ∩ = ∅, , ∈ ℕ , ≠

% ) # ! " &

&. &.

Y, Z = [ ( )

! !

!$%

!$%

PROPRIETÀ DELLA PROBABILITÀ

a) P (∅) = 0 evento impossibile

à

b) P(A) 1

∀ ∈ , ≤

c) ∀ , ∈ , ( ∪ ) = () + () − ( ∩ )

2.1.3 SPAZIO DI PROBABILITÀ

Assegnato un esperimento casuale, la terna (Ω, P) viene denominata spazio di probabilità, dove è lo

, Ω

spazio campionario, lo spazio degli eventi e P rappresenta la legge di probabilità definita su

.

2.2 PROBABILITÀ CONDIZIONATA ED INDIPENDENZA

2.2.1 PROBABILITÀ CONDIZIONATA

PROBABILITÀ CONDIZIONATA Assegnato uno spazio di probabilità (Ω, P), siano A e B due eventi

,

à

appartenenti ad con P (B) > 0. Viene denominato probabilità condizionata di A, assegnato B, e si indica

,

con P (A|B), il rapporto tra la probabilità dell’evento intersezione (A∩ della probabilità dell’evento B,

)

ovvero ( ∩ )

(|) = ()

In maniera alternativa tale formula può essere proposta con la regola del prodotto o legge delle probabilità

composte (calcolo delle intersezioni di 2 eventi):

P (A∩B) = P(B) * P(A|B) 5

Inoltre, se risulta P (A) > 0, allora per la proprietà commutativa dell’intersezione, la legge delle probabilità

composte di due eventi A e B può essere espressa:

P (A∩B) = P(A) * P(B|A)

Da cui si ottiene: ( ∩ )

(|) = ()

TEOREMA 2.1. LEGGE DELLE PROBABILITÀ COMPOSTE

Assegnato uno spazio di probabilità (Ω, P), siano eventi appartenenti ad

, , , … , .

% ) #

Se P ( ) > 0, allora vale la seguente relazione:

∩ ∩ … ∩

% ) #*% ) ) ) )

) =

( ∩ ∩ … ∩ ( ∗ ( | ∗ ( | ∩ ∗ … ∗ ( | ∩ ∩ … ∩

% ) # % ) % / % ) # % ) #*%

2.2.2 INDIENDENZA TRA EVENTI

INDIPENDENZA TRA 2 EVENTI Assegnati due eventi A e B appartenenti ad essi sono indipendenti, se il

,

à

verificarsi dell’evento B, posto P (B) > 0, lascia invariata la probabilità che si presenti l’evento A e quindi se

(|) = ()

Oppure, in maniera alternativa, se il verificarsi dell’evento A, posto P (A) > 0, lascia invariata la probabilit&ag