Calcolo delle probabilità

SPAZIO CAMPIONARIO:

in un fenomeno con risultati variabili si dice spazio campionario l'insieme di tutti i possibili esiti del fenomeno

es:

lancio di una moneta -> {testa, croce}

lo spazio campionario può essere:

• finito
• composto da un insieme di elementi finito es: lancio di 2 monete -> Ω={TT, TC, CT, CC}
• infinito numerabile composto da insieme di elementi infinito ma numerabile es: lancio di una moneta fino a fare non faccia croce
• l'infinito non numerabile (continuo)

composto da un insieme infinito di elementi continui e non numerabili es: lancio di un sasso dalla posizione che assume a terra:

Posizione del baricentro: (x, y)

inclinazione rispetto alla normale: (θ)

EVENTO:

sottoinsieme dello spazio campionario

esempio: lancio di due monete

Spazio campionario Ω ={TT, TC, CT, CC}

evento: {almeno una croce} = A = {TC, CT, CC} ⊂ Ω

se l'evento A coincide con lo spazio campionario si dice evento certo A = Ω

se l'evento A è un insieme vuoto si dice evento impossibile A = ∅

l'evento formato da ogni elemento non appartenente ad A si dice suo complementare A^c

A^c = {ω ∈ Ω | ω ∉ A}

Punto formato

l'unione di due eventi è un evento formato da tutti gli elementi appartenenti o ad uno o all'altro evento

A∪B = {ω ∈ Ω | ω ∈ A ∪ ω ∈ B}

l'intersezione di due eventi è un evento formato dagli elementi appartenenti ad uno e all'altro evento

A∩B = {ω ∈ Ω | ω ∈ A ∩ ω ∈ B}

RELAZIONE DI IMPLICAZIONE

A⊂B

un evento A implica B se A è contenuto in B allora agli elementi di A appartiene anche B (ma non necessariamente viceversa)

se A⊂B ⊂ Ω allora A = B

I eventi si dicono incompatibili se (λ ∩ B) = ∅

Operazioni: differenza simmetrica

(A Δ B) = (A ∪ B) \ (A ∩ B)

Una successione è un insieme indicizzato di eventi:

• {A_n, n ≥ 1}

Il limite superiore di una successione di eventi è un evento i cui elementi sono tali che:

• {ω ∈ Ω | ∃k, ω ∈ A_n ∀n ≥ k}

Il limite inferiore di una successione di eventi è un evento i cui elementi sono tali che:

• {ω ∈ Ω | ∃A_nk, A_nk sottosuccessione di A_n, ω ∈ A_nk ∀k ∈ ℕ}

lim sup A_n = ⋂_{k = 1}^∞(⋃_{h = k}^∞A_k)

lim inf A_n = ⋃_{k = 1}^∞(⋂_{h = k}^∞A_k)

DIM { ω ∈ Ω }

Se A implica B A ⊂ B → P(A) ≤ P(B)

B = A ∪ (B \ A) = A ∪ (B ∩ A^c)

A ∩ (B ∩ A^c) = ∅

P(A ∪ (B ∩ A^c)) = P(A) + P(B ∩ A^c) = P(B)

P(B) = P(A) + P(B ∩ A^c)

P(B ∩ A^c) ≥ 0 → P(B) > P(A)

lim sup A_n = ⋂ A_n k=1 N M=K k=N

lim inf A_n = ⋃ A_n N=1 M=K k=N

lim A_n esiste ⟺ lim A_n = lim sup A_n = lim inf A_n

⋃ A_n = ⋃ A_n k=1 N=K k=N

se A_n è crescente lim A_n = ⋃ A_n sup N=1

se A_n è decrescente lim A_n = ⋂ A_n inf N=1

limite per successioni non monotone

P(lim A_n) = lim P(A_n)

lim A_n = A per i poteri

P(A) = P(lim inf A_n) = P(lim ⋃ A_n) = lim P(⋃ A_n) k=+∞ N=K k=+∞ monotonìa crescente

lim P(⋃ A_k) = P(lim ⋃ A_k) = P(lim sup A_n) = P(A) K=+∞ M=K k=N monotonìa decrescente

P(A) ≤ lim P(A_n) ≤ P(A) n=+∞

lim P(A_n) = P(A) = P(lim A_n) n=+∞

Formula di Boole

P( ⋃_k=1ⁿ A_k ) ≤ Σ_k=1ⁿ P(A_k)

A_k ∩ A_n ≠ 0 k, n

Dimostrazione

Prendiamo una successione rivoluzionaria delle prime F_n

F₁ = A₁

F₂ = A₂−A₁ = A₂ ∩ A₁^C

F₃ = A₃−( A₁ ∪ A₂ ) = A₃ ∩ ( A₁ ∪ A₂ )^C

F_K = A_K−( ⋃_j=1^K−1 A_j ) = A_K ∩ ( ⋃_j=1^K−1 A_j )^C

⋃_k=1ⁿ A_k = ⋃_k=1ⁿ F_k

Dimostrazione per induzione

n = 1

A₂ = F₂

Per ipotesi induttiva

⋃_k=1ⁿ⁻¹ F_K ∪ A_n = ⋃_k=1ⁿ ( A_m ∩ ( ⋃_j=1^K F_j )^C ) = ⋃_K=1ⁿ⁻¹ A_K ∪ ( A_n ∩ ( ⋃_k=1^j=K A_j )^C ) =

( ⋃_K=1ⁿ⁻¹ A_K ∪ A_m ) ∩ ( ⋃_K=1^H ( ⋃_k=1^j=n A_j )^C ) = ⋃_K=1ⁿ A_K ∩ Ω = [ ⋃_K=1^j A_K ]

P( ⋃_K=1ⁿ A_K ) = P( ⋃_K=1ⁿ F_k ) = Σ_K=1ⁿ P(F_k) ≤ Σ_K=1ⁿ P(A_K)

F_k ⊆ A_k ∀k

Probabilità condizionata

P(A|B):

P(A) con la condizione B

Esempio: Probabilità che una persona alta più di 170 cm pesi più di 60 kg

P(P > 60 kg | S > 170 cm)

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)   P(B) > 0

Valutazione di conformità ai postulati di Kolmogorov

1. Sigma-algebra per definizione
2. P(A|B) ≥ 0   P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) ≥ 0
3. P(Ω|B) = 1   P(Ω ∩ B) = P(B) / P(B) = 1
4. P(A ∪ C|B) = P(A|B) + P(C|B)   con A ∩ C = Ø
5. A ∩ B = Ø allora P(A|B) = 0

P(A ∩ B) = P(A|B) P(B)

A ∩ B = Ø → A ∩ B = Ø ∩ B = Ø → P(Ø) = 0

P(A ∩ B) = 0   P(A|B) = 0

EVENTI INDIPENDENTI

Siano A e B due eventi

Se P(AB) = P(A) i 2 eventi si dicono indipendenti

Se A e B sono indipendenti

P(AB) = P(A)·P(B)

P(AB) = P(AB)

--------- = P(A)P(B)

P(B) --------

P(B|A) = P(B)

---------

P(A)

P(B|A) = P(B)·P(A) -------- = P(B)

P(A)

Se A e B sono indipendenti

anche (A^c e B^c) lo sono

P(A^c_{B^c) = P(A ∪ B)^c = 1 - P(A ∪ B) = 1 - P(A) - P(B) + P(AB)}

= 1 - P(A) - P(B) + P(A)P(B) = P(A^c) - P(B)(1 - P(A))

P(A^c) - P(B)(1 - P(B)) = P(A^c)P(B^c)

anche (A^c e B) sono indipendenti se A = B

P(AB) =

A = A ∩ A = A ∩ (B ∪ B^c) = (AB) ∪ (A ∩ B^c)

P(A) = P(AB) + P(A ∩ B^c) = P(A ∩ B^c) + P(A) - P(A ∩ B) - P(A) - P(A)P(B)

P(A)[1 - P(B)] ? P(A)P(B)

Variabili aleatorie discrete

Una variabile si dice discreta se assume o un numero finito o un infinito numerabile di valori:

S = {x_k, k = 1, 2, ... n} per cui P(X ∈ S) = 1

S = spettro della v.a. discreta

Una variabile aleatoria discreta si può rappresentare come

X(ω) = ∑_k 1_Ak(ω)x_k = { 0 se ω ∉ A_k 1 se ω ∈ A_k } dove 1_Ak (ω) = { 0 se ω ∉ A_k 1 se ω ∈ A_k }

A_k ∩ A_m = ∅ ∀k ≠ l ∪ A_k = Ω

S è al più un insieme numerabile A_n = {x ∈ ℝ | P(X(ω) = x) ≥ 1/n} S = ∪ A_n

Funzione di ripartizione

F_X(x) = P(X(ω)