Appunti schematici - Calcolo della probabilità

σ-ALGEBRA

famiglia di tutti gli eventi di interesse

• B ⊆ P(Ω)
• ∅ ∈ B
• ∀ A ∈ B: _Ā = {ω ∈ Ω, ω ∉ A} ∈ B
• ∀ A_m ∈ B: ∪ A_m = {ω ∈ Ω, ∃ m: ω ∈ A_m} ∈ B

KOLMOGOROV

P: B → ℝ

• P(Ω) = 1
• ∀ A ∈ B, P(A) ≥ 0
• {A_m}_m∈ℕ ⊆ B famiglia di B discreta e disgiunta
• ∀ i, j ≠ j: A_i ∩ A_j = ∅

=> P(∪_mA_m) = Σ_m P(A_m)

FORMULE

• A ∩ B = Ȧ ∩ B̅ e Ȧ ∪ Ḃ = Ȧ̅ ∩ Ḃ̅ Leggi di de Morgan
• P(A−B) = P(A)− P(A ∩ B) = P(A ∩ Ḃ)
• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A _∩ B) ≤ P(A) + P(B)
• P(Ḃ) = 1 − P(B)
• P(A ∩ B) = P(A) − P(A−B) ≥ P(A) + P(B) − 1

Incompatibilità ⟺ A ∩ B = ∅ ➔ P(A ∩ B) = 0 [se P(A),P(B) > 0]

o l'una o l'altra

Indipendenza ⟺ P(A ∩ B) = P(A)P(B)

LEGGE PROBABILITÀ COMPOSTA:

P(A∩B) = P(A|B) ⋅ P(B) ➔ P(A|B) = P(A∩B) / P(B)

LEGGE DELLE ALTERNATIVE:

• Evento E ∈ B, {C_m} ⊆ B famiglia discreta e disgiunta
• P(C_m) > 0 e E ⊆ ∪_m C_m effetto riescumche. ad almeno 1 delle m cause

=> P(E) = Σ_m P(E | C_m) P(C_m)

E = E ∩ (∪_m C_m) = ∪ E ∩ C_m

P(∪_m E ∩ C_m) = K3, LPC

TEOREMA DI BAYES:

Stesse ipotesi scritte sopra + P(E) > 0 x trovare la causa + probabile che ha generato quell' effetto

=> ∀ m P(C_m | E) = P(E | C_m) P(C_m) / Σ_m P(E | C_m) P(C_m)

Dimostro applicando LPC, L.A.

Variabili Casuali: Generale

F_X(x) = P(X ≤ x)

• a → -∞ = 0
• a → +∞ = 1

crescente

continua solo da DX

P(a ≤ x ≤ b) = F_X(b) - F_X(a)

Quantile d'ordine α: P(X ≤ x_α) ≤ α ≤ P(X ≤ x_α)

Discrete

f_x(x) = P(X = x)

• >0 x ∈ S_X
• =0 x ∉ S_X

S_X finito

P(X) = 1 x ∈ S_X

F_X(x) = P(x ≤ X) = Σ_{k ≤ x} f_Y(k)

E(g(x)) = Σ_∀x g(x) f_X(x)

Continue

P(X = x) = 0 ∀ x ∈ R

f_x(x) = F'_x(x)

F_x(x) = P(X ≤ x) = ∫_-∞^x f_x(t) dt

S_x = {x ∈ R, f_x(x) > 0}

Quantile: P(X ≤ x_α) = α = F_X(x_α)

E(g(x)) = ∫_-∞^+∞ g(x) f_X(x) dx

Varianza in generale: Var (X) = E[(X - μ_X)²]

= E(X²) + E(X)²

Proprietà valore atteso/varianza:

E(aX + b) = aE(X) + b , Var (aX + b) = a² Var (X)

2 Variabili: Varianza e Covarianza

Cov(X,Y) = E[(X - μ_X)(Y - μ_Y)] = E(XY) - E(X)E(Y)

Bilinearità: Cov(aX + bY, Z) = a Cov(X, Z) + b Cov(Y, Z)

dimostrato con le proprietà del valore atteso

Var (aX + bY) = a² Var (X) + 2ab Cov (X, Y) + b² Var (Y)

X ⊥ Y → Cov(X,Y) = 0 incorrelazione

E(XY) = E(X)E(Y)

Var (aX + bY) = a² Var (X) + b² Var (Y)

ASSENZA DI MEMORIA

GEOMETRICA X ~ Geom(θ)

P(X > m + m | X > m) = P(X > m)

ESP NEGATIVA X ~ Expon(θ) ~ Gamma (1, θ)

P(X > t + u | X > t) = P(X > u)

FUNZIONE GENERATRICE

G_X(t) = E[e^tx] ∀ t ∈ ] - δ, δ [ δ > 0

MOMENTO R-ESIMO: derivato n volte, t = 0 G^r_X(0) = E(X^r)

DISCRETE → G_X(t) = ∑_{x ∈ eX} e^tx f_X(x)

CONTINUE → G_X(t) = ∫_-∞^+∞ e^tx f_X(x) dx

X ⊥⊥ Y G_X+Y(t) = G_X(t) G_Y(t)

Y = a + bX → G_a+bX(t) = e^at G_X(bt)

PROPRIETÀ RIPRODUTTIVE

• Bin(m, θ) + Bin(m, θ) ~ Bin(m + m, θ)
• Pois(λ) + Pois(μ) ~ Pois(λ + μ)
• SOMMA DI m POISSON S_m = ∑^m_i=1 X_i ~ Pois(∑_i=1^m λ_i)
• Gamma(α, θ) + Gamma(β, θ) ~ Gamma(α + β, θ)
• χ²_g + χ²_h ~ χ²_g+h
• α·N(μ, σ²) + b·N(ν, ε²) ~ N(αμ + b, α²σ² + b²ε²)
• SOMMA DI m V.C. NORMALI S_m = ∑^m_i=1 a_iX_i
• S_m ~ N(∑_i=1^m a_iμ_i, ∑_i=1^m a_i²σ_i²)

(α, b) ≠ (0, 0)