Appunto parziale Analisi matematica

DIMOSTRZIONE:

1) Essendo x0 un punto di massimo relaativo per F, da definizione deve esistere un intorno S maggiore di zero tale che F(x0) sia

maggiore o uguale a F(z) per ogni z appartenente all’intervallo ab intersecato (x-S; x+S)

2) Per soddisfare l’ipotesi che F(x) sia maggiore o uguale a F(z), S deve essere maggiore di 0 e di conseguenza compreso

nell’intervallo (x-S; x+S)

3) Suddivido ora in due casi:

X maggiore di Z:

Si trova che F(z) - F(x) è maggiore o uguale a 0: dal teorema di permanenza del segno, il limite da x- è maggiore = 0

----------

Z - x

X minore di Z:

Si trova che F(z) - F(x) è minore o uguale a 0: dal teorema di permanenza del segno, il limite da x+ è minore = 0

----------

Z - x

4) Essendo F una funzione derivbile, ciò signifca che il limite da destra deve avere lo stesso valore del limite da sinistra:

limite da destra del rapporto incrementale = limite d sinistra del rapporto incrementale = F’(x)

5) Dovendosi verificare la condizione di stazionarietà, F’(x) = 0

TEOREMA DI LAGRANGE (O DEL VALOR MEDIO)

Sia F una funzione definita in [a,b[ intervallo ciuso e limitato. Supponiamo che F sia continua e derivabile in ab; allora esiste c appartenente

Ad ab tale che F’(c) = F(b) - F(a)

----------

B -a

DIMOSTRAZIONE: 1) La retta ab ha come coefficiente angolare: F(b) - F(a) = F’(c)

---------

B - a

2) L’equazione cartesiana della retta ab è: F(b) - F(a) x (x-a) + F(a)

----------

B - a

3)Considerando ora w(x) = F(x) - F(b) - F(a) x (x-a) + F(a): essenfo F(x) continua in ab, lo è anche w(x); inoltre

Ottengo w(a) = F(a) - F(a) = 0 e w(b) = F(b) - F(b) = 0

--------- Essendo inoltre ab un intervllo chiuso e limitato, per il

B - a TEOREMA DI WEIESTRASS esistono dei punti di

minimo e massimo assoluto per la funzione w.

Quando il punto di minimo coincide con il punto di

massimo (xM = xm) w ed F risultano derivbili:

w’(x) = F’(x) - rapporto incrementale = 0

Quando xm è diverso da xM, allora esiste un punto c

compreso tra i punti di minimo e di massimo: essendo

w derivabie in (ab), c rappresenta un punto di minimo

o di massimo (in virtu’ del teorema di Fermat,

0 = w’(c) = F’(c) - rapporto incrementale tra a e b;

dimostrando così che F’(c) = F(b)- F(a)

--------

B - a

TEOREMA TEST DI MONOTONIA

Sia F una funzione derivbile in I intervallo aperto, allora F è monotona non decrescente se e solo se F’(x) è maggiore o

uguale a 0; ed è monotona non decrescente se e solo se F‘(x) è minore o ugule a 0. Inoltre se F’(x) è maggiore di 0, F

è strettamente crescente in I; se è minore allora è strettamente decrescente.

DIMOSTRAZIONE:

1) Supponiamo che F sia monotona non decrescente, questo implica che per ogni z maggiore di x, F(z) sarà maggiore o

uguale d F(x)e quindi il rapporto incrementale sarà maggiore o ugule a 0

2) Se z fosse minore di x, il rapporto incrementale sarebbe sempre maggiore o uguale a 0 (perchè numeratore e

denominatore sono concordi, quindi posso invertire il tutto di segno)

3) Dal teorema di permanenza del segno si ottiene che il limite del rapporto incrementale, e quindi il limite di F’(x), è

maggiore o ugule a 0 (questo perchè il limite eredita il segno delle due disuguaglianze precedenti

4) Supponendo che F’(x) sia mggiore o uguale. 0, prendendo due arbitrari x1,x2 siamo in grado di calcolare il teorema di

Lagrange in x1,x2 ottenendo così l’esistenza di c appartenente ll’intervallo [x1, x2] tale che:

0 sia minore uguale di F’(c) = F(x2) - F(x1) determinaando che F(x2) sia maggiore uguale a F(x1)

------------

X2 - x1

TEOREMA DEGLI ZERI

Sia F una funzione definita su un intervallo ab chiuso e limitato Suppongo che F sia continua in ab e che F(a) x F(b)

sia minore di 0.

Allora esiste un elemento c appartenente ad ab tale che F(c) = 0 (Nel caso in cui la funzione sia strettamente

crescente, lo zero della funzione è unico)

DIMOSTRAZIONE:

Per dimostrare il teorema, utiizzo il metodo delle bisezioni:

Date due successioni an e bn con le seguenti proprietà

1) MONOTONIA: an è minore di an+1 e bn è minore di bn+a

2) DIMEZZMENTO LUNGHZZE: bn - an = b - a

3) VALORE DISCORDE AGLI ESTREMI: F(an) x F(bn) è minore di 0

4) Pongo a0 = 0 e b0 = 0 e successivament ottengo:

An+1 = an + bn e quindi an = a0 + b0 = a + b

5) A questo punto devo trovare qual’è il valore c che sostituito ad F mi fa annullare la funzione (=0): per trovare c procedo con il

dimezzamento delle lunghezze (parto con c0 = a0 + b0; c1 = a1 + b; ... fino a che non trovo il valore c (a quel punto mi fermo))

6) an monotona crescente e superiormnte limitata :

Bn monotona non crescente e limitata :

7) bn - an = b - a

TEOREMA DI DE L’HOSPITAL

TEOREMA CONCAVITA’-CONVESSITA’ DI UNA FUNZIONE

Sia F una funzione definita in un intervallo I aperto. Se F è derivabile nell’intervallo I, allora F è:

1) CONVESSA: se e solo se F’ è non decrescente in I

2) CONCAVA: se e solo se F’ è non crescente in I

Se F è derivabile due o piu’ volte in I, allora

1) F’’(x) maggiore di 0: F è strettamente convessa in I

2) F’’(x) minore di 0: F è strettamente concava in I

F [tx1+(1-t)x2] minore uguale F(x1)+ (1-t) x F(x2) ----- F strettamente convessa

F [tx1+(1-t)x2] maggiore uguale F(x1) + (1-t) x F(x2) ----- F strettamente concava

TEOREMA DERIVATA SECONDA

Sia F una funzione derivabile in I convessa in I, allora vale che:

F(x) maggiore uguale a F’(x0) x (x-x0) + F(x0) [Equazione della retta tangente al grafico]

Sia F una funzione derivabile in I e convessa in I. X0 è un punto di minimo assoluto per F se e solo se

F’(x) = 0

DIMOSTRAZIONE:

1) F(x) maggiore uguale a F’(x0) x (x-x0) + F(x0)

2) Essendo, da definizone, F’(x0) = 0 di conseguenza otteniamo che F(x) è maggiore uguale a F(x0)

3) Da ciò osserviamo che x0 è un PUNTO DI MINIMO ASSOLUTO per F

PROPRIETA’ DI FUNZIONI A DERIVATA NULLA

Sia F una funzione definita nell’intervallo aperto I e derivabile in I; allora F’(x) = 0 se e solo se F è costante in I.

DIMOSTRAZIONE:

Essendo F costante in I ed essendo f’(x) = 0. A seguito del test di monotonia essendo F costante, essa risulta al contempo sia monotona non

decrescente sia monotona non crescente; Il teorema di Fermat e i test di monotonia ci aiutano nella ricerca di punti di massimo e punti di

minimo.

Per individuare eventuali punti di minimo e di massimo devo seguire tre passaggi fondamentli:

1) Calclare F(a) ed F(b)

2) Calcolare F’(x) e risolvere F’(x) = 0

3) Se F’(x) = 0 non ha soluzioni, F(a) ed F(b) sono punti di estremo assoluto; se x0 è soluzione di F’(x) allora siamo davanti ad un punto

di stzionarietà: X0 punto di minimo X0 non punto di stremo

X0 punto di massimo

4) Calcolare i punti di estremo assoluto ( calcolando il valore di F nei punti di estremo relativo, li confronto con F(a) e F(b) e stabilisco i

punti di estremo assoluto)

TEOREMA PER LA CONVERGENZA DELLE SERIE

Se la serie an che va da n=0 a infinito converge, allora il limite della successione, per n che tende a +infinito, è uguale

a 0

DIMOSTRAZIONE:

Se la serie an converge e ha somma s, allora il limite per n che tende a + infinito di sn è uguale a s, dove sn è

la successione delle somme parziali (sn = sn-1 + an). Si ha quindi che an = sn - sn-1; poichè esiste il limite per

n che tende a + infinito di sn e di sn-1 ed è uguale a s; allora ottengo:

Limite, per n che tende a + infinito, di an = limite per n che tende a + infinito di sn - sn-1 = s-s = 0

Se la serie an è convergente allora il limite, per n che tende a + infinito di Rn è uguae a 0 (Rn è

definito come il resto della successione , ovvero la sommatoria per k che va da n a + infinito di ak,

dove per ak si intende la somma di tutte e successioni parziali)

TEOREMA SERIE A TERMINI DI SEGNO VARIABILE

Se la serie an converge assolutamente, allora converge (semplicemente) --- Non vale il contrario

DIMOSTRAZIONE:

Considerando la successione sn di somme parziali, da questa serie se ne deducono altre due:

Sn+ = sommatoria di ak con ak maggiore ugale a 0

Sn- = -Sommatoria di ak con ak minore di 0 (ak sono le serie parziali a termini non negativi)

Sn = sn+ - sn-

Essendo la serie, per ipotesi, monotona non decrescente, per il teorema di monotonia risulta Superiormente Limitata

TEOREMA SOMMA DI DUE SERIE

Date due serie an e bn, si definisce somma di de serie la serie che ha per argomento (an + bn)

DIMOSTRAZIONE:

Siano an ed bn due serie convergenti con somma s e t e siano lambda e gamma due costanti appartenenti ad R; allora la serie

[lambda an + gamma bn] ha per somma lambda s e gamma. Se le due serie risultano assolutamente convergenti, allora anche la

somma risulta assolutamente convergente

TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE

Sia F una funzione defifinita in I. Sia G una funzione definita in J dove I è compreso in j ed è un intervallo di R. Viene definita primitiva

di F in I se:

1) G è derivabile in J 2) G’(x) = F(x) -------- Entrambe le condizioni devono essere soddisfatte

Sia F una funzione continua e definita nell’intervallo b, e G una primitiva di F in ab, allora vale la seguente uguaglianza:

DIMOSTRAZIONE:

Poichè f è continua in ab, allora è anche integrabile nello stesso intervallo; suddividiamo ab in :

A = x0 minore di x1 minore di x2 .... minore di xn = b e in n sott’intervalli xj = a + Jh

Punto iniziale dell’intervallo

Ampiezza intervallo

Vale l’uguaglianza: Essendo che G è derivabile in ab, possiamo

Applicare il teorema di Lagrange in [xj-1,xj] ottenendo:

Essendo G una primitiva di F, si ha:

TEOREMA DELLA MEDIA - INTEGRALI

Sia F una funzione continua nell’intervallo ab; allora esiste c appartenente ad ab tale che:

DIMOSTRAZIONE:

Essendo F continua e limitata nell’intervallo ab, allora F soddisfa le ipotesi del teorema di Weiestrass, e quindi l’esistenza di un punto di

minimo (m) ed un punto di massimo (M)

Essendo m minore uguale di F(x) minore uguale di M; significa che l’integrale da a a b di m è minore uguale rispetto a quello di F(x) che a

sua volta è minore rispetto a quello di M: Il teorema di Darboux assicura che esiste un

elemento cappartenente all’intervallo ab. Tale

Per l’algebra degli integrali

Per l’algebra gli integrali, queso è uguale a : M(b-a)

questo è uguale a: m(b-a) che:

Una funzione per essere integrabile deve necessariamente essere continua

NON TUTTE LE FUNZIONI SONO INTEGRABILI

DEFINIZIONI SECONDA PROVA PARZIALE