Appunto parziale Analisi matematica

Dimostrazione del punto di massimo relativo

Concetto di massimo relativo

Essendo x₀ un punto di massimo relativo per F, da definizione deve esistere un intorno S maggiore di zero tale che F(x₀) sia maggiore o uguale a F(z) per ogni z appartenente all'intervallo ab intersecato (x-S; x+S).

Per soddisfare l'ipotesi che F(x) sia maggiore o uguale a F(z), S deve essere maggiore di 0 e di conseguenza compreso nell'intervallo (x-S; x+S).

Casi distinti

• X maggiore di Z: Si trova che F(z) - F(x) è maggiore o uguale a 0: dal teorema di permanenza del segno, il limite da x- è maggiore = 0 ----------Z - x.
• X minore di Z: Si trova che F(z) - F(x) è minore o uguale a 0: dal teorema di permanenza del segno, il limite da x+ è minore = 0 ----------Z - x.

Funzione derivabile

Essendo F una funzione derivabile, ciò significa che il limite da destra deve avere lo stesso valore del limite da sinistra: limite da destra del rapporto incrementale = limite d sinistra del rapporto incrementale = F’(x).

Dovendosi verificare la condizione di stazionarietà, F’(x) = 0.

Teorema di Lagrange (o del valor medio)

Sia F una funzione definita in [a,b[ intervallo chiuso e limitato. Supponiamo che F sia continua e derivabile in ab; allora esiste c appartenente ad ab tale che F’(c) = F(b) - F(a) ----------B - a.

Dimostrazione

• La retta ab ha come coefficiente angolare: F(b) - F(a) = F’(c) ---------B - a.
• L’equazione cartesiana della retta ab è: F(b) - F(a) x (x-a) + F(a) ----------B - a.
• Considerando ora w(x) = F(x) - F(b) - F(a) x (x-a) + F(a): essendo F(x) continua in ab, lo è anche w(x); inoltre ottengo w(a) = F(a) - F(a) = 0 e w(b) = F(b) - F(b) = 0.

Teorema test di monotonia

Sia F una funzione derivabile in I intervallo aperto, allora F è monotona non decrescente se e solo se F’(x) è maggiore o uguale a 0; ed è monotona non crescente se e solo se F’(x) è minore o uguale a 0. Inoltre, se F’(x) è maggiore di 0, F è strettamente crescente in I; se è minore allora è strettamente decrescente.

Dimostrazione

• Supponiamo che F sia monotona non decrescente, questo implica che per ogni z maggiore di x, F(z) sarà maggiore o uguale di F(x) e quindi il rapporto incrementale sarà maggiore o uguale a 0.
• Se z fosse minore di x, il rapporto incrementale sarebbe sempre maggiore o uguale a 0 (perchè numeratore e denominatore sono concordi, quindi posso invertire il tutto di segno).

Teorema degli zeri

Sia F una funzione definita su un intervallo ab chiuso e limitato. Suppongo che F sia continua in ab e che F(a) x F(b) sia minore di 0. Allora esiste un elemento c appartenente ad ab tale che F(c) = 0 (Nel caso in cui la funzione sia strettamente crescente, lo zero della funzione è unico).

Dimostrazione

Per dimostrare il teorema, utilizzo il metodo delle bisezioni:

• Monotonia: an è minore di an+1 e bn è minore di bn+1.
• Dimezzamento lunghezze: bn - an = b - a.
• Valore discordi agli estremi: F(an) x F(bn) è minore di 0.

Teorema di de l'Hospital

Teorema concavità-convessità di una funzione

Sia F una funzione definita in un intervallo I aperto. Se F è derivabile nell’intervallo I, allora F è:

• Convessa: se e solo se F’ è non decrescente in I.
• Concava: se e solo se F’ è non crescente in I.

Teorema derivata seconda

Sia F una funzione derivabile in I convessa in I, allora vale che: F(x) maggiore uguale a F’(x₀) x (x-x₀) + F(x₀) [Equazione della retta tangente al grafico].

Proprietà di funzioni a derivata nulla

Sia F una funzione definita nell’intervallo aperto I e derivabile in I; allora F’(x) = 0 se e solo se F è costante in I.

Teorema per la convergenza delle serie

Se la serie an che va da n=0 a infinito converge, allora il limite della successione, per n che tende a +infinito, è uguale a 0.

Teorema serie a termini di segno variabile

Se la serie an converge assolutamente, allora converge (semplicemente) — Non vale il contrario.

Teorema somma di due serie

Date due serie an e bn, si definisce somma di due serie la serie che ha per argomento (an + bn).

Teorema fondamentale del calcolo integrale

Sia F una funzione definita in I. Sia G una funzione definita in J dove I è compreso in J ed è un intervallo di R. Viene definita primitiva di F in I se:

• G è derivabile in J.
• G’(x) = F(x) — Entrambe le condizioni devono essere soddisfatte.

Teorema della media - integrali

Sia F una funzione continua nell’intervallo ab; allora esiste c appartenente ad ab tale che:

Non tutte le funzioni sono integrabili

Una funzione per essere integrabile deve necessariamente essere continua.

Definizioni seconda prova parziale

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