Appunti su matrici e vettori

T

A = 

 .. .. ..

. .

n×n 

 .

. . .

a a · · · a

1n 2n nn √

Se una matrice K ha elementi complessi k = a + jb , (dove j = −1) si indica

ij ij ij

con K la matrice coniugata, ossia quella che ha elementi k = a − jb .

ij ij ij

∗

Data una matrice complessa K , si chiama matrice aggiunta K la matrice trasposta

T

∗ T

coniugata, K = K = K . Alcuni testi indicano questa matrice con il simbolo

† H

K oppure con il simbolo K . T

Una matrice reale quadrata si dice simmetrica se A = A , una matrice complessa

∗

si dice autoaggiunta o hermitiana se K = K . In una matrice reale simmetrica vi

n(n + 1)

sono al più elementi indipendenti.

2

Una matrice quadrata si dice diagonale se a = 0 per i 6 = j

ij

 

a 0 · · · 0

1

 

0 a · · · 0

 

2

A = diag(a ) =  

.. .. ..

.

n×n i .

 

.

. . .

0 0 · · · a

n

Una matrice diagonale è sempre simmetrica. T

Una matrice quadrata A si dice antisimmetrica se A = −A ; dati i vincoli imposti

da questa relazione, la matrice antisimmetrica ha la seguente struttura



 0 a · · · a

12 1n 

 −a 0 · · · a 

 12 2n

A = 

 .. .. ..

..

n×n 

 .

. . .

−a −a · · · 0

1n 2n

n(n − 1)

In una matrice antisimmetrica vi sono al più elementi indipendenti e non

2

nulli. Vedremo in seguito alcune importanti proprietà delle matrici antisimmetriche

3 × 3.

Basilio Bona - Algebra Lineare e Matrici 4

1.2 Operazioni sulle matrici

Le matrici sono elementi di un’algebra (lineare) detta algebra della matrici .

Ricordiamo che, in generale, un’algebra è uno spazio lineare (vettoriale) con l’ag-

1

giunta di un operatore (prodotto) bilineare.

Uno spazio lineare è una struttura matematica in cui sono definiti gli elementi dello

spazio, che indicheremo, per il caso che stiamo trattando, con il simbolo maiuscolo

grassetto A, e alcune altre condizioni, qui di seguito elencate:

1) è definita un’operazione di somma, indicata con il simbolo +; la somma deve

essere commutativa. Esiste un elemento neutro rispetto alla somma detto O.

Esso prende il nome di elemento nullo (relativamente alla somma). 2

2) per ogni elemento A dello spazio, data una variabile α reale o complessa ,

esiste l’operazione di prodotto per α, tale che αA appartiene ancora allo spazio.

Inoltre, date due variabili scalari α e β,

(a) vale la proprietà associativa rispetto al prodotto degli scalari: α(βA) =

(αβ)A;

(b) vale la proprietà distributiva rispetto alla somma: α(A+B) = αA+αB;

(c) vale la proprietà distributiva rispetto al prodotto per scalare: (α +β)A =

αA + βA;

Nel caso particolare delle matrici queste proprietà generali prendono le forme parti-

colari descritte nel seguito.

Prodotto per scalare

   

a a ··· a αa αa ··· αa

11 12 1n 11 12 1n

   

a a ··· a αa αa ··· αa

   

21 22 2n 21 22 2n

αA = α =

   

.. .. .. .. .. ..

... ...

   

. . . . . .

a a · · · a αa αa · · · αa

m1 m2 mn m1 m2 mn

1 per bilinearità si intende la linearità rispetto a entrambi gli operandi.

2 ci limiteremo a considerare il caso di α reale.

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Somma di matrici  

a + b a + b ··· a + b

11 11 12 12 1n 1n

 

a + b a + b ··· a + b

 

21 21 22 22 2n 2n

A + B =  

.. .. ..

..

 

.

. . .

a + b a + b · · · a + b

m1 m1 m2 m2 mn mn

Per poter essere sommate, le matrici devono avere le stesse dimensioni.

Valgono le seguenti proprietà, che sono state genericamente affermate nella condi-

zione 1) precedente: A + O = A

A + B = B + A

(A + B) + C = A + (B + C )

T T

T

(A + B) = A + B

L’elemento neutro o nullo O prende il nome di matrice nulla. L’operazione differenza

viene definita con l’ausilio dello scalare α = −1:

A − B = A + (−1)B.

Prodotto di matrici

Indicheremo per ora l’operatore prodotto con il simbolo ·, ma nell’uso comune esso

viene quasi sempre omesso, come si usa fare per il simbolo di prodotto tra grandezze

scalari.

L’operazione si effettua con la ben nota regola “riga per colonna”: il generico

elemento c della matrice prodotto C = A · B vale

ij m×p m×n n×p

n

X a b

c =

ij ik kj

k=1

La proprietà di bilinearità del prodotto tra matrici è garantita, in quanto si verifica

immediatamente che, dato uno scalare generico α, vale la seguente identità:

α(A · B) = (αA) · B = A · (αB)

Valgono le seguenti proprietà, anch’esse genericamente fissate nelle condizioni 2)

(a)-(c) precedenti: A · B · C = (A · B) · C = A · (B · C )

A · (B + C ) = A · B + A · C

(A + B) · C = A · C + B · C

T T

T

(A · B) = B · A

In generale si verifica quanto segue:

Basilio Bona - Algebra Lineare e Matrici 6

• il prodotto tra matrici non è commutativo: A · B 6 = B · A, salvo in casi

particolari;

• A · B = A · C non implica B = C , salvo in casi particolari;

• A·B = O non implica che sia A = O oppure B = O, salvo in casi particolari.

Esiste un elemento neutro rispetto al prodotto, che prende il nome di matrice identità

e viene indicata con I oppure semplicemente I quando non ci sono ambiguità nella

n

dimensione; data una matrice rettangolare A si ha

m×n

A = I A = A I .

m×n m m×n m×n n

Oltre a queste operazioni fondamentali, esistono altre funzioni su matrici che elen-

cheremo brevemente nel seguito.

Potenza di matrice n×n

Data una matrice quadrata A ∈ R , la potenza k-esima di matrice vale

k

A = A · A · · · A k volte

Una matrice si dice idempotente se 2

A = A.

Traccia

La traccia di una matrice quadrata A è la somma dei suoi elementi diagonali

n×n n

X

tr (A) = a

kk

k=1

La traccia di una matrice soddisfa le seguenti proprietà

tr (αA + βB) = α tr (A) + β tr (B)

tr (AB) = tr (BA)

T

tr (A) = tr (A )

−1

tr (A) = tr (T AT ) per T non singolare (vedi oltre)

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Determinante (ij)

n×n

Data la matrice A ∈ R , indichiamo con A la matrice quadrata di dimensioni

(n − 1) × (n − 1) ottenuta cancellando la i-esima riga e la j-esima colonna della

matrice A. Ad esempio, data la matrice

 

1 −5 3 2

 

−6 4 9 −7

 

A =  

7 −4 −8 2

0 −9 −2 −3

si ha  

1 −5 2

 

(23) 7 −4 2

A = 0 −9 −3

Si definisce minore di ordine p di una matrice A il determinante D di una

m×n p

sottomatrice quadrata ottenuta selezionando p righe e p colonne qualsiasi di A .

m×n

Esistono tanti minori quante sono le scelte possibili di p su m righe e p su n colonne.

Si definiscono minori principali di ordine k di una matrice A i determinanti D ,

m×n k

con k = 1, · · · , min{m, n}, ottenuti selezionando le prime k righe e k colonne della

matrice A .

m×n

Si definisce minore complementare D di un generico elemento a di una matrice

rc rc

(rc)

quadrata A il determinante di A

n×n (rc)

D = det(A ).

rc

Si definisce complemento algebrico o cofattore (in inglese cofactor ) di un elemento

a di una matrice quadrata A il prodotto

rc n×n r+c

A = (−1) D

rc rc

Una volta definito il complemento algebrico si può definire il determinante di A.

Fissata una qualsiasi riga i, si ha la definizione per riga:

n n

X X

(ik)

i+k

det (A) = a (−1) det (A )= a A

ik ik ik

k=1 k=1

oppure, fissata una qualsiasi colonna j, si ha la definizione per colonna:

n n

X X

(kj)

k+j

det (A) = a (−1) det (A )= a A

kj kj kj

k=1 k=1

Poiché le precedenti definizioni sono ricorsive e coinvolgono i determinanti di minori

via via più piccoli, occorre definire il determinante della matrice 1 × 1, che vale

det (a ) = a .

ij ij

In generale si hanno le proprietà seguenti:

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• det(A · B) = det(A) det(B);

T

• det(A ) = det(A);

n

• det(kA ) = k det(A );

n×n n×n

• se si effettua un numero s di scambi tra righe o tra colonne della matrice A

s

ottenendo la matrice A , si ha det(A ) = (−1) det(A);

s s

• se la matrice A ha due righe o due colonne uguali o proporzionali, si ha

det(A) = 0;

• se la matrice A ha una riga o una colonna ottenibile da una combinazione

lineare di altre righe o colonne, si ha det(A) = 0;

• se la matrice A è triangolare superiore o inferiore, si ha det(A ) =

n×n n×n

Q

n a ;

ii

i=1

• se la matrice A è triangolare a blocchi, con p blocchi A sulla diagonale,

n×n ii

Q pi=1

si ha det(A ) = det A ;

n×n ii

Una matrice A si dice singolare se det(A) = 0.

Rango

Si definisce rango (o caratteristica) della matrice A il numero ρ(A ) definito

m×n m×n

come il massimo intero p per cui esiste almeno un minore D non nullo.

p

Valgono le seguenti proprietà:

• ρ(A) ≤ min{m, n};

• se ρ(A) = min{m, n}, la matrice A si dice a rango pieno;

• ρ(A · B) ≤ min{ρ(A), ρ(B)}.

T

• ρ(A) = ρ(A );

T T

• ρ(A · A ) = ρ(A · A) = ρ(A);

D’ora in poi il prodotto tra matrici A · B sarà indicato semplicemente come AB.

Matrice aggiunta n×n

Data una matrice quadrata A ∈ R , si definisce matrice aggiunta di A la matrice

quadrata Adj(A) = {α } i cui elementi α sono definiti come

ij ij i+j

&alp