Appunti su matrici e vettori

Matrici e operazioni fondamentali

Matrici complesse e reali

Se una matrice K ha elementi complessi \( k_{ij} = a_{ij} + jb_{ij} \), dove \( j = \sqrt{-1} \), si indica con \( K^* \) la matrice coniugata, ossia quella che ha elementi \( k_{ij}^* = a_{ij} - jb_{ij} \). Data una matrice complessa K, si chiama matrice aggiunta \( K^T \) la matrice trasposta coniugata, \( K^* = K^T = K^H \). Alcuni testi indicano questa matrice con il simbolo \( K^\dagger \).

Una matrice reale quadrata si dice simmetrica se \( A = A^T \), mentre una matrice complessa si dice autoaggiunta o hermitiana se \( K = K^* \). In una matrice reale simmetrica vi sono al più \( \frac{n(n+1)}{2} \) elementi indipendenti.

Tipi di matrici

Una matrice quadrata si dice diagonale se \( a_{ij} = 0 \) per \( i \neq j \). Una matrice diagonale è sempre simmetrica.

Una matrice quadrata A si dice antisimmetrica se \( A = -A^T \); dati i vincoli imposti da questa relazione, in una matrice antisimmetrica vi sono al più \(\frac{n(n-1)}{2} \) elementi indipendenti e non nulli.

Una matrice si dice idempotente se \( A^2 = A \).

Operazioni sulle matrici

Spazi lineari e operazioni

Le matrici sono elementi di un'algebra (lineare) detta algebra delle matrici. Un'algebra è uno spazio lineare (vettoriale) con l'aggiunta di un operatore bilineare (prodotto). Uno spazio lineare è una struttura matematica con elementi definiti nello spazio, che qui indicheremo con il simbolo maiuscolo grassetto A, e alcune altre condizioni:

• È definita un'operazione di somma, indicata con il simbolo +; la somma deve essere commutativa. Esiste un elemento neutro rispetto alla somma detto O.
• Per ogni elemento A dello spazio, data una variabile \( \alpha \) reale o complessa, esiste l'operazione di prodotto per \( \alpha \), tale che \( \alpha A \) appartiene ancora allo spazio.
• Proprietà associativa rispetto al prodotto degli scalari: \( \alpha(\beta A) = (\alpha \beta)A \).
• Proprietà distributiva rispetto alla somma: \( \alpha(A+B) = \alpha A + \alpha B \).
• Proprietà distributiva rispetto al prodotto per scalare: \( (\alpha + \beta)A = \alpha A + \beta A \).

Prodotto per scalare

Il prodotto di una matrice per uno scalare \( \alpha \) si effettua moltiplicando ciascun elemento della matrice per \( \alpha \).

Somma di matrici

Per poter essere sommate, le matrici devono avere le stesse dimensioni. Le proprietà della somma sono:

• \( A + O = A \)
• \( A + B = B + A \)
• \( (A + B) + C = A + (B + C) \)
• \( (A + B)^T = A^T + B^T \)

Prodotto di matrici

Il prodotto tra due matrici si effettua con la regola "riga per colonna". Le proprietà del prodotto sono:

• \( \alpha (A \cdot B) = (\alpha A) \cdot B = A \cdot (\alpha B) \)
• \( A \cdot B \cdot C = (A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C) \)
• \( A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C \)
• \( (A + B) \cdot C = A \cdot C + B \cdot C \)
• \( (A \cdot B)^T = B^T \cdot A^T \)

In generale, il prodotto tra matrici non è commutativo, ossia \( A \cdot B \neq B \cdot A \), salvo casi particolari. Esiste un elemento neutro rispetto al prodotto, chiamato matrice identità, indicata con I.

Funzioni su matrici

Potenza di matrice

Data una matrice quadrata A, la potenza k-esima di matrice vale \( A^k = A \cdot A \cdot \ldots \cdot A \) (k volte). Una matrice si dice idempotente se \( A^2 = A \).

Traccia

La traccia di una matrice quadrata A è la somma dei suoi elementi diagonali. Le proprietà della traccia includono:

• \( \text{tr}(\alpha A + \beta B) = \alpha \text{tr}(A) + \beta \text{tr}(B) \)
• \( \text{tr}(AB) = \text{tr}(BA) \)
• \( \text{tr}(A^T) = \text{tr}(A) \)

Determinante

Data una matrice quadrata A, il suo determinante si può calcolare tramite i minori della matrice. Le proprietà del determinante includono:

• \( \det(A \cdot B) = \det(A) \cdot \det(B) \)
• \( \det(A^T) = \det(A) \)
• Una matrice A si dice singolare se \( \det(A) = 0 \).

Rango

Il rango di una matrice A è il massimo intero \( p \) per cui esiste almeno un minore di ordine \( p \) non nullo. Le proprietà del rango includono:

• \( \rho(A) \leq \min\{m, n\} \)
• Se \( \rho(A) = \min\{m, n\} \), la matrice A è a rango pieno.

Matrice aggiunta

Data una matrice quadrata A, la matrice aggiunta Adj(A) è definita tramite i complementi algebrici dei suoi elementi.