Appunti su matrici

Proprietà delle matrici

A+0=A

Moltiplicazione di un numero reale per una matrice:

kA è la matrice m x n il cui elemento di posto ij è k * a_ij

Sia A una matrice m x n, -A si dice opposta di A

Proprietà:

A,B m x n e k,h ∈ R

(h+k)A=hA+kA

(hk)A=h(kA)

H(A+B)=hA+hB

0A=A

Trasposta:

La trasposta di A è la matrice n x m il cui elemento di posto ij è a_ji

Proprietà:

A^t = A

A + A^t = 2A

(kA)^t = kA^t

Matrice simmetrica:

A si dice simmetrica se A = A^t

Se A è una matrice m x n e A = (a_ij) = n x m, allora A^t = (a_ji)

Se i=j allora a_ij = a_ji, cioè A e A^t hanno la stessa diagonale, quindi ogni matrice diagonale è simmetrica ma non il contrario

Le matrici simmetriche 2 x 2 sono tutte e sole nella forma:

(ab)

(bd)

Matrice antisimmetrica:

A si dice antisimmetrica se A = -A^t

A può essere sia simmetrica sia antisimmetrica se e solo se A è la matrice

La somma di due matrici antisimmetriche è una matrice antisimmetrica, stessa cosa se si moltiplica un numero per una matrice antisimmetrica.

Le matrici antisimmetriche sono tutte e sole le matrici della forma:

Ogni matrice quadrata A è somma di una simmetrica e una antisimmetrica.

Prodotto di matrici:

Siano m,p,n ∈ N

Il prodotto AB è la matrice m x n il cui elemento di posto ij è:

PROPRIETA'

Date due matrici in cui è possibile svolgere la moltiplicazione:

A0 = 0

AI = A e IA = A

(AB)C = A(BC)

A(B+C) = AB + AC

(A+B)C = AC + BC

K(AB) = (kA)B = A(kB)

Se A e B sono quadrate posso fare AB e BA ma NON vale la proprietà commutativa

Se AB = BA le due matrici si dicono permutabili

t t t

(AB) B ∙ A

Siano A e B simmetriche dello stesso ordine allora AB è simmetrica se e solo se A e B sono permutabili

Quadrati di matrici

A² = A x A

=(A + +B)=A +B)〗 B)( A AB+ BA+ B

TIPI DI MATRICI QUADRATE

A si dice IDEMPOTENTE se A^2 = A

Esempi sono la matrice nulla e la matrice unità. Se una matrice è idempotente tutte le potenze della matrice sono uguali

A si dice NILPOTENTE se esiste m tale che A^m = 0

Esempi sono la matrice nulla. Basta che una potenza di A sia nulla

CASI

Se A è INVOLUTORIA allora A non è NILPOTENTE, quindi se l'esponente è pari è I2, A ≠ 0 quindi se l'esponente è dispari è A^3

A^2 = A A = I A è IDEMPOTENTE e NILPOTENTE A = 0, quindi non esiste una matrice non nulla che lo sia

A è IDEMPOTENTE e INVOLUTORIA A = I, quindi se A è idempotente e involutoria allora A^2 = IA e A^2 = I

Possiamo quindi concludere affermando che se una matrice possiede una di queste proprietà non necessariamente ne possiede un'altra

Matrici invertibili

Data una matrice A m x n A si dice INVERTIBILE se esiste una matrice

b m x n tale che AB=BA=I

Se una matrice B esiste è unica, infatti se C è un'altra matrice tale che AC=CA=I allora B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=CB si dice quindi matrice inversa di A e si denota con -1A