Appunti per esame di Analisi matematica 1

E

logejx.at/ogsjxtDs3Iogs,} C .

e .

e s . e

× >

→µ→

" non,!

" " → * .

" «

«

" →

→

"

↳ µ . TÈ:* dove#asint

i oti/ .

.

Teoria 4 di 16

%7a.fi»

all'infinito:

limite

° #÷" s )

(×.-s,

:l'intervallo

intornocentrato Usa»

aperto

»

r aggios

d i

i n +

o x .

x . =

h -

{xc.IR:

x k }

tipof a ,

intornod i

° intervallo

aperto d e l r )

- a . = →

{xepix.ie}

intornod tipo( K ,

intervallo a )

d e l

aperto

i +

+ a : = I I I .

S i aF.AE/R f a r

funzione

I R l eR

c h e

E R d i c e

accumulazione

punto d iA

d i

s i a ogni

s e

→ s i per

u n a u n

x .

e tale suo}

Uscio) fa s ev l l )

intorno xeuscx.in

vedi a l

c h e e

intorno

esiste u n xelr.to) "

tale f a »

° °""""

n a

f a i . t o

×!ma k > c h e

H a M

m

s e " ° "

ogni

s e

x . per s oe

e t a → o """

e tutti

continua

è i

i n

f

Continuità:

f sull'intervallo

continuai fa » .

f a » , continua punti

d e l

ognipunto

continua

è dominio

è

è i n

se n

° n s e

× . s u o

e continua

d ice

s i

A funzioni

e lementari

(potenze,

quoziente

funzioni da

Tuttel c h e prodotto,

e composizioni

ottenere

s ipossono s o m m a ,

c o n e

definizione

goniometriche)

logaritmiche,

esponenziali, loro

continue

n e l d i

insieme

s o n o

funzionirazionali

limiti

° p e r

× → x .

: i l

i l denominatore

normale s e

i l

denominatore

numeratore

quandosostituisco svolgo

annulla n è s i

oe . ns i

c a s

- n o n e n o n

× . → basta

sostituire

annulla

funzione

continua

denominatore

i l

i l

:quandosostituisco numeratorem

annulla

c a s o2

- →

i

x .s o n

an i l

i l imite

i l

denominatore calcolo

i l

sostituisco imitesinistro-

numeratore

iannulla destro

:quando →

- c a s o s m an

3 e

o n

× . FÈ, f .

ma •

= .

→

sinistro

fino§ = limite → i

→ verticale

asintoto

; jmo.jp,

limitedestro ÷ .

→ a

+

→ o i l

i l

denominatore che numeratore f a i semplifico

sostituisco annullano

quando gas

s i →

s i a

x . scompongo

- oa :

c a s e e

funzionirazionali

limiti

° per

× a

→

funzioni sostituisco

l a

fa».-no raccolgo grande

m d igrado

polinomiali: più poi

- e

per ×

→

a

ma

funzionirazionali: semplifico sostituisco

l a

→ raccolgo grande,

d igrado poi

più

- e

per ×

limiti

notevoli:

° a

si e toe

¥ : iÉÈÈÈ

µ ,

e, ÷:#±,

÷, ÈÈÈÈ÷

ma"Ì e

A t & t

m m ' e

→

e e, o

a

Aggiungere altri

gli

Teoria 5 di 16

asintoti

Equivalenze che:

° Ì

equivalenti

asintoticamente fingo

funzionis fango»

' 1

dicono p e r

i e

2 x o x os scrive

e s i × .

x .

p e r

limiti

frangi»

fa. fee».

E riga» allora

allora d e i

c » esistono

- prodotti

g e n i s ei

s e 2

e p e r

× » . p e r × - × . .

g .

.

i

uguali

s o n o È §Ì pe

frangi»

f a limiti allora uguali

allora rapportiesistono

g e n i d e i

s e i s o n o

e

- p e r

× » . s e

r

× - × . . 2

i

i (fanti

(guida

fango» allora

- s e p e r

×

per → × . x o x o fecxstfacxi~g.cn±

frangi»

fa. necessariamente c h e

implica

g e n i g i »

s e

- n o n

e p e r

× » . p e r

× » .

i Ì

f a i

e tà

funzioni ' o

date nintorno

definite Farage»)

d i

piccolo

° piccolo: d i ec h e è

d i c

i n gas iscrive

s

s i o

u

a s e

x . per

o → × .

×

f a )

c h e infinitamente

piccolorispetto

indica è gas

quando

a × - × .

L a afunzionem

notazione proprietà

ol a

o n o s o l

indica a

u n

n

sianofax) fango»

definite

funzioni intorno allora

d i odimostrare

s o l o

gas s e

i n

2 per

u n e

e × - × . o s s

× .

- è - I n è - 1

sinx~x-sinx-xt.cn t o c »

- → ×

=

×

cosi ×

È cetxfe.axtocxs.tn/1txinx 'tiplicative

cena_era

1 -c -

e .

o s a →

- → ×

,

tgxvxstgx.xr.gs vanti

I n # ) o

- +

→

Formula d i Taylor

° f a , s )

s i a funzione qualche

intervallo

definita e s ,

certo c h e :

i n s > supponiamo

p e r

u n a u n o

f a ,

derivabilen volte

neii'intervallo

- e .

. almeno

aderivatam

esistal n0

e s i i

- m a FÈ

"-È × "

'

I n f a , dato

i l

questo Trento pe d i

polinomio g rado

dovet è

e » d a

e n

c a s o →

× »

= r

se.......».

costanti

↳ numeri...

dentro..... Sviluppi

d i d ialcune

centratii

Taylor, n

o ,

→ funzionielementari

÷:*:

÷ . . norme

÷..;÷.

infinitesimo

Ordine parte

principale

d i

° e

s e f a » .

K E , dice

c h e :

s i

per x . c o n

o o » , fa».k

f a , " equivalente xq.gg

" k i

infinitesimo

d iordine " B .

è è

- a

u n a

aparte

principale

k eè l

-

I llimite degli

rapporto infinitesimi

togliendo infinitesimi

dati

quantitàinfinitesime g rado

cambia

d i d i

aggiungendo

t r a agli

• superiore

u n n o n o

graficoqualitativo

i l

utileper

parte funzionenell'intorno

principale tracciare

la

conoscere

• d i d i

può o

*

essere u n a

Teoria 6 di 16

Derivatad afunzione

i u n grafico f a i

noi.-m punto

tangente n e l

a l d i

d i

x D

i x . retta

equazione ascissa

g .

→ × .

g . ti H o t h

'

dj. incrementale

→ rapporto

m , = =

µ"""Ì derivabile

funzione puntod i l

finitol

limite i l

valore

a

esiste nel

f a ,

mtg.. limite

e d

equesto dice

è i c h e

a scissa

s s i x .e

→ g .

f i n

derivata

i l d i d i

eprende n o m e

a s s u m × .

alcunefunzionielementari

Derivate

d i

° nuovafunzione

funzione

ef a , f a

introdurreu

derivabile

a A . corrispondere

l a

s derivabile c h ea

allora

s i dognixo.ca

dice

è i n e

ogni

x . i n può

s i n a

Fed

Fc» funzione

derivata

prima

→

→

x . firmo I n

funzionanti:

fase fi » .

K 'figo

- o

=

=L:p

kxzxn.fi#nx"

funzione

potenza: 3×

f '

fa i . M a f a r e

E

- a →

→ 2 l a

È

f a i derivata

è f ' anche

allora calcolare

v-ac.IR

ngenerales questa radici

delle

regolaposso

i e c o n

→

= →

F a

E " "

f a i .r x - f i » . . ¥

fare"

- f a i

-fcxi.cos-fixx.si - t . f i » . .

fcxi.sinx-fcxi.co

- s x n×

funzioni f '

fa n a allor =p'#sta

- s a m a : =p

p c » a s o n e

s e a

e '

a

o + f a i

prodotto:s funzioni fai.-pas.q allora cxi-acxstpcxs.at»

u i

p c » a s o n = p.

- e a e

e o (È)'.

funzione

f a i derivabile,

allora

reciproco:s i a

- u n a FÈ,

quoziente: f a ,

funzioni allora

derivabili f a » .

- s i a

a n )

s i a n o

p o i a e =

e (figc»)) Figc

funzioni xD.

peste: f a i

D è

gia)

- y.-since) cosa».

y : e x

g a s .

s i n

e s

= →

×

→

escxs.mc.ro

G 8'

- »

?

Punti nderivabilità

d i n o funzione

funzionei puntoè derivabilità

sufficiente,

perl a della

della nellostessopunto

L a

continuità condizione

n necessaria,

u n m a n o n

u n a

f a , sicuramente derivabile

continua neanche

i n i n

è è

- s e × .

× . n o n

n o n

f a i derivabile

'continua detto

c h es aanche

e i n i

è i n

s e

- × .

× . n o n

Suppongo lineare»,

F a i

ef a , acontinua calcolare

t.IE.

c h d evo possibili:

s i i n c a s i

i

× . . e

f a i fix»

i l limiti

finiti derivabile valore

uguali

esistono,

limiti coincidec

d e i

i nx

ei . 2 o n

- s s o n o

2 sono e comune

→

e fan derivabile

limiti angoloso

punto

esistono diversi è i n

i i o

→

2 n o n

→

s o n o

- x .