Appunti Meccanica razionale

O

La terna baricentrica è dotata di moto puramente x 2

traslatorio rispetto ad O. x 1

Il moto del corpo rispetto alla terna baricentrica è detto moto relativo al

baricentro. ( G ) ( G ) ( G )

Q , K , T

O

Nel caso di un corpo rigido la terna baricentrica non è una terna solidale!

I teorema di König

La quantità di moto di un sistema materiale rispetto alla terna baricentrica è

nulla ( G ) 

Q 0 

  ( G ) ( G )

 0

Q M v Q Mv

G G x y

Cinematica delle masse 3 3

  P



   i

 



S P , m 

( a ) ( r ) ( )

    G

P S v v v 

i i y

 

i n

1,.. i i i

i 2

y

( a ) ( r )

  v

v v v 1

G O

i i G x

II teorema di König x 2

1

Il momento della quantità di moto di un sistema materiale rispetto a un

qualunque osservatore è uguale al momento della quantità di moto del sistema

rispetto alla terna baricentrica sommato con il momento della quantità di moto

del baricentro pensato come un punto materiale dotato dell’intera massa del

sistema ( G )

  

K K TG M v

T T G  

n n

 

  G r

( ) ( )

   

K TP m v , K TP m v

T i

i i i i

T i

 

i i

1 1

 

n

n

 

  ( r )

     

K TP m v TP m v v

T i G

i i i

i i

 

1

1 i

i

n n

 

( r )

     ( G )  

TP m v m TP v K TG M v

i G

i i i i T G

 

i 1 i 1 ( G )

  

K K TG M v

( G ) T T G

MTG

K T Cinematica delle masse

( a ) ( r )

   

P S v v v

i i G

i

III teorema di König

L’energia cinetica di un sistema materiale rispetto a un qualunque osservatore

è uguale all’ energia cinetica del sistema rispetto alla terna baricentrica

sommata all’ energia cinetica del baricentro pensato come un punto materiale

dotato dell’intera massa del sistema 1

 

( G ) 2

T T Mv

G

2

n n

1 1

 

 

2 ( ) ( )2

G r

,

T m v T m v

i i i i

2 2

 

i i

1 1

 

n

n 1

1 n n n

1 1

2



   

r

( )  

 

2 m v v ( )

r

T m v   

( )2 2

r

m v m v m v v

i G

i

i i 2 i G

i i i G i

2 2 2



i 1

   

i 1 1 1 1

i i i ( G )

Q

M

( G )

T

1

 

( G ) 2

T T Mv

G

2

Cinematica delle masse

1  

 2

T v dC

2 C 



x x

Energia cinetica di un corpo rigido con un asse fisso a 3 3





   

a x asse di rotazione   ˆ

N 1 q = e

3 

3

1 P

P '

 

       

  

P C v v P x

v P  2

O

 P

P x

    2

P P ' P ' P x 

x

1

  1



    

         '

P P

' ' ' '

v P P P P P P

P 2



2

 2

  

2 P ' P

v P ' P 1

1 1

2

2 

  

 



  2

2 2

'

P P dC

'

T P P dC I x

2

2 2 

3

C

C I

1 x 1



3



 

2

T I 

 2

T I

a

2 a

2

Cinematica delle masse

Energia cinetica di un corpo rigido con un punto fisso Ω x

  

   

N 3 q , q , q 3

a asse di istantanea rotazione '

x û

1 2 3 3 a

  ˆ '

u

= x

1 2

 O



 2

T I x 2

a 1

2   

T 



  ( )

1 T

 x

T 

    

( ) T

ˆ ˆ 

 '

I u u ( ) x

ˆ ˆ

T u u 1

2 1

a 2  

  p , q , r

Hp. assi solidali sono principali d’inerzia



   

  p

A 0 0 p  

1

  1

1  

   

   



   

  2 2 2



T Ap Bq Cr

  Ap , Bq , Cr q

T p , q , r 0 B 0 q

     

  2

2

2  

  

  r

0 0 C r  

 

 

Energia cinetica di un corpo rigido con un punto fisso Ω nel caso di moto

  1



Ox x  

rigido piano    

0,0, T 

 ( )

T

1 2 2

  

    0

' 0 0

A C 1 1

1  

     

  

 

 

 

   2

0, 0, C 0 C

T 0, 0, C ' B 0 0  

   

    1

2 2

2 



 

 2



  T I



   

0 0 C  

    x

2 

3

Energia cinetica 1 1 

 

 

2 2

T I I

Energia cinetica di un corpo rigido con un asse fisso a a a

2 2

1   

T 

 ( )

Energia cinetica di un corpo rigido con un punto fisso Ω T 2

Energia cinetica di un corpo rigido in moto qualunque

1 1 1

  

( G ) 2

T T Mv   

T

 

( ) 2

G

T Mv

G

2 G

2 2 1

Energia cinetica di un corpo rigido in moto traslatorio  2

T Mv

2

Ox x

Corpo rigido in moto nel piano 1 2 1 



Energia cinetica di un corpo rigido con un punto fisso Ω  2

T I x

2 

3

Energia cinetica di un corpo rigido in moto qualunque

1 1 1



   

( G ) 2  

T T Mv 2 2

T I Mv

G x G

2 2 2

3 G

Momento della quantità di moto di un corpo rigido con un punto fisso Ω

  

   

N 3 q , q , q a asse di istantanea rotazione

1 2 3  x

    

P C v (

t ) (

t ) P 3



x a

3

        



      

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

P x e x e x e pe qe re 

x

1 2 3 1 2 3

1 2 3 2



   

  x

  

       

 

K P v dC P (

t ) P dC

  2

 x 

x

C C 1

 

2

  1

 

     

     

P P P

P (

t ) P

    

          

          

     

2 2 2 ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ x p x q x r x e x e x e

x x x p

e q

e r

e 1 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3

 

 

    

   

      

2 2 2 2 ˆ

x x q x x r e

x x x p x p

 

  1

1 2 3 1 1 2 1 3

 

 

  

     

      

2 2 2 2 x x r ê

x x x q x x p x q

 



 2

1 2 3 1 2 2 2 3

 

  

       

      

2 2 2 2 ê

x x x r x x p x x q x r

 

  3

1 2 3 1 3 2 3 3

   

   

 

           

   

    

2 2 2 2

ˆ ˆ

x x p x x q x x r e x x q x x p x x r e

   

1 2

2 3 1 2 1 3 1 3 1 2 2 3

 

 

      



  

2 2 ˆ

x x r x x p x x q e

  3

1 2 1 3 2 3

Momento della quantità di moto di un corpo rigido con un punto fisso Ω

 

   

       

        

2 2 ˆ

P (

t ) P x x p x x q x x r e

  1

2 3 1 2 1 3

   

   

           

 

       

2 2 2 2

ˆ ˆ

x x q x x p x x r e x x r x x p x x q e

   

2 3

1 3 1 2 2 3 1 2 1 3 2 3

 

  

   

  

K P (

t ) P dC

 



 

 

C

  

      

  

    

2 2 ˆ

K p x x dC q x x dC r x x dC e

 

 1

2 3 1 2 1 3

 

C C C

 

C B

A

 

 

   

     

  

    

2 2 ˆ

q x x dC p x x dC r x x dC e

  2

1 3 1 2 2 3

 

C C C

 

C

B A

 

 

   

     

  

   

2 2 ˆ

r x x dC p x x dC q x x dC e

  3

1 2 1 3 2 3

 

C C C

 

C B A

     

  

        

ˆ ˆ ˆ

' ' ' ' ' '

K Ap C q B r e Bq C p A r e Cr B p A q e

 1 2 3

 



 ( )

K    

  



 

ˆ ˆ ˆ

K Ap e Bq e Cr e

Hp. assi solidali sono principali d’inerzia  1 2 3

 

 

 ( )

K  1

  T



 T K



Corpo rigido con un punto fisso Ω 1 

   2

T 

 ( )

T



 2

Momento della quantità di moto di un corpo rigido con un asse fisso a



  

    ˆ

a x x e

=  

   

' ' 0

A C B

3

3 3  

      

  

   



    



( ) B ' , A ' , C

K