Appunti meccanica razionale

Sistemi di punti materiali vincolati

1.1 Vincoli, G.D.L., spostamenti virtuali

Punto vincolato o meno il suo moto può svolgersi in tutto lo spazio ³, detto …

N punti materiali spazio delle conf. ^3N di dim 3N,

Se il punto è vincolato a muoversi … Lo spazio delle conf. si riduce a ² …

Si dice spazio delle configurazioni di un insieme di N pti materiali vincolati …

Numero di gradi di libertà (p) la dimensione dello spazio delle conf.

Spostamenti virtuali sono gli spost. consentiti dal vincolo

δH = δxi … + δyi … + δzi … Spost. elementare generico

Es. pto vincolato a muoversi nel piano x, y,

δz = 0; δR = δxi … + δyi …

Indico gli spost. virtuali con δH (o anche δP)

Sistemi di punti materiali vincolati

1.1 Vincoli, G.D.L., spostamenti virtuali

Punto vincolato o meno → il suo moto può svolgersi in tutto lo spazio R³, detto spazio delle configurazioni di dim. l=3

N punti materiali → Spazio delle conf. R^3N di dim l=3N,

Se il punto è vincolato a muoversi su un piano → Lo spazio delle conf. si riduce a R² con dim.2.

Si dice spazio delle configurazioni di un insieme di N punti materiali vincolati quel sottoinsieme di R^N

Numero di gradi di libertà (l) la dimensione dello spazio delle conf.

Spostamenti virtuali → i soli spost. consentiti del vincolo

Sp. punt. vincolato a muoversi nel piano x, y, δx = δx î + δy ĵ + δz k̂.

Spost. elementare generico

Indico gli spost. virtuali con δN o anche δŝ

Spost. virt.: ŝ ≠ 0 non nulla

Classificazione dei vincoli

Vincoli fissi o mobili

Quando le eq. di vincolo non contengono il tempo

Contengono il tempo

Esempio di vincolo: y = αx

Se α = cost., il vincolo è fisso.

SP = δP

Spost. reale

Spost. virtuale

Se α varia nel tempo → il vincolo è mobile

Ho lo spost. del punto sulla guida δPre

Lo spost. della guida stessa δPT

(spost. di trascinamento)

SP = δPr + δPT

Gli spost. reali e virtuali sono diversi solo in presenza di vincoli mobili.

Vincoli bilateri e unilateri

Spost. virtuali di vincoli bilateri sono sempre reversibili.

Vincoli geometrici e/o cinematici

Quando nelle equaz. (o disequ.) di vincolo compaiono o meno anche le velocità.

Vincoli olomi → vincoli geometrici e bilateri allo stesso tempo.

f(x, y, z, t) = 0

(la natura dei posti anche non fissi)

Vincoli e gradi di libertà

N punti materiali soggetti a m vincoli olonomi

• L'i-th = (x₁, y₁, z₁) e L_i+1 = (x₂, y₂, z₂) ... L_N = (X_N, y_N, z_N) vettori pos. degli N punti
• F_i(q₁, q₂, ..., q_n, t) = 0 i = 1 ... m equazioni di vincolo

Le equazioni di vincolo fi. formano un sistema di m equazioni nelle 3N incognite H1, H2, ..., Hn, le soluzioni di tale sistema, quando esistono, coincidono con la specie delle configurazioni.

∂f₁/∂x₁      ∂f₁/∂y₂      ∂f₁/∂z₁      ∂f₁/∂xₙ      ∂f₁/∂yₙ      ∂f₁/∂zₙ ................................................................. ∂fm/∂x₁      ∂fm/∂y₂      ∂fm/∂z₁      ∂fm/∂xₙ      ∂fm/∂yₙ      ∂fm/∂zₙ

Le m equazioni di vincolo si dicono indipendenti nel punto (H1, H2, ..., Hn se la matrice Jacobiana ha rango massimo. Quindi le m eq. possono essere indipendenti in alcuni p.ti della varietà della conf. ma non in altri.

• M < 3N → sistema labile
• M = 3N → isostatico
• M > 3N → iperstatico

Una varietà di N.p. materiali soggetti a m vincoli olonomi è detto sist. olonomo

4.2) Spazio delle configurazioni e coordinate lagrangiane

Dim.ni.downo ai gradi di libertà a una superficie di dim.ni E in R³ᴺ

Rappresentazione parametrica di tale superficie in termini di E parametri liberi e indipendenti che chiamiamo con q₁, ..., qe:

Hi = Ri (q₁, ..., qe)

Con q₁, ..., qe coord. lagrangiane

Al variare di q₁, ..., qe nel loro dominio, le equazioni precedenti descrivono lo spazio delle conf.

x₁ = X₁ (q₁, ..., qe, t) y₁ = Y₁ (q₁, ..., qe, t) z₁ = Z₁ (q₁, ..., qe, t) ... xₙ = Xₙ (q₁, ..., qe, t) yₙ = Yₙ (q₁, ..., q