Appunti meccanica razionale

SISTEMI DI PUNTI MATERIALI VINCOLATI

1) VINCOLI, G.D.L., SPOSTAMENTI VIRTUALI

Punto vincolato = meno → il suo moto può svolgersi in tutto lo spazio R³, detto spazio delle configurazioni di dim. e=3

N. pti materiali → spazio delle conf. R^3N di dim. p=3N,

Se il punto è vincolato a muoversi in un piano → Lo spazio delle conf. si riduce a R² con dim. 2.

In questo corso, lo SP delle conf. è un sottoinsieme dello spazio non vincolato

Si dice → spazio delle configurazioni di un insieme di N pti materiali vincolati quel sottoinsieme di R^N

Numero di gradi di libertà (p) la dimensione dello spazio delle conf.

Spostamenti virtuali → sono gli spost. consentiti dal vincolo

δH = δx i^{^} + δy j^{^} + δz k^{^} SPOST. ELEMENTARE GENERICO

E.G. ptòv vincolato a muoversi nel piano x₁ y₁,

δz=0 ; δR = δx i^{^} + δy j^{^}

→ Indico gli spost. virtuali con \(\delta \bar{N}\) (o anche \(\bar{δP}\))

SPOST. VIRT. δN ≠ posviz. δ^n ≠ non visib.

Classificazione dei vincoli

VINCOLI FISSI O MOBILI

quando le ≠ di vin contezionamo il loro contegioano il tempo

E.g. di vincoli:

y = x se φ = cost., ilvincalo è fisno.

SP = SP

spost. vintuale

Se φ varia nel tempo → il vincolo è mobile

→

Ha lo spost. del pto sulla guida δP

e lo spost. della guida stessa δP

SP = δP + δP

SP

SPOST. di ttaninata

-> gli spost. zedi e vintuali came duversi sana in prersento di vincoli inobili.

VINCOLI BILATERI E UNILATERALI

spost. virtuali di vincoli bilateri aro sampa revensibili.

VINCOLI GEOMETRICI E CINEMATICI

quasi alle speaz. (lo direzo) di vincolo crionpina o meno avdv le veloti.à.

VINCOLI OLOMOMI

-> vincoli geometrici e bilotici allo stresso tempo.

f(x,y,z,t) = 0 (lo matro de peó ouche, moose posimi).

Vincoli e gradi di libertà

N punti materiali soggetti a m vincoli olomomi

amo | _i1 = (x1,y1,z1) i ₂ = (y2,y2,z) ... N = (YN,y

panzi di N punti.

vincli f_i (N₁,N₂...N_i,t) = 0 i = 1... m

equipecravi di dincolu

4.3) REAZ. VINCOLARI ED EQUAZIONI DI MOTO IN PRESENZA DI VINCOLI

Sia il punto P_i soggetto m vincoli ➔ avrà m reaz. vincolari. M_i + F_i + Φ_i ➔ con F_i tutte le forze attive sul punto P_i, Φ_i reaz. vincolare totale sul medesimo punto.

Per ora tratterò solo VINCOLI LISCI ➔ le reaz. agiranno contatti.

Pendolo matematico

Sul punto P giocano 2 forze punt.Φ = Φ_x î + Φ_y ĵ = Φ [− î sinφ ⁺ ĵ cosφ]

• mẍ = Φ_x
• mÿ = Φ_y − mg
• mž = 0

3−2 = 1 g.d.l. ➔ φ coord. lagr.

• x = l sinφ ; ẋ = lφcosφ ;
• ẋ˙ = −l(φsinφ + φ˙ʺcosφ)
• y = −l cosφ ; ẏ = lφsinφ ;
• ÿ˙ = l(φcosφ + φ˙ʺsinφ)

• m l (φcosφ − φ˙ʺcosφ) = −Φ sinφ
• m l (φ˙ʺsinφ + φ˙ʺcosφ) = Φ cosφ − mg

"Se perturbo una conf. di equilib. stabili, il punto deve conservare rimane in nelle vicinanze della config. di equilibrio.

Il criterio di Dirichlet

Considero un insieme di punti materiali soggetto a sole forze conservative, attuare un insieme di vincoli alcuni lisci e fissi.

Sia V(x₁, x₂, ..., x_N) EN. POT. SISTEMA

Il criterio afferma che:

"Se la conf. (x_eq1, x_eq2, ..., x_eqN) è un punto di minimo dell'energia potenziale, allora essa è una conf. di equilib. Linearmente stabile."

• Rappresento 2 profili per l'energia potenziale V(x):

E = T + V (per un sist. conserv. in gen. istante), E determinato dalle cond. iniz.

T ≥ 0 (sempre non negativo) → il punto può svolgersi solo in quelle regioni possibili dove V(x) ≤ E

1° CASO

Nello stato alla. T(0)(x_u,0) corrisponde un valore di E pari a E₀ = V(x_u), in questo T = 0 → unica moto possibile è x(t) = x_min , essendo x_min l'unico punto per il quale V(x) ≤ E₀

TEOREMI DI KÖNIG

Momento angolare (riferito polo Ω)

K(Ω) = Σ_ind (P_i - Ω) x (m_i ṽ_i)

K(Ω) = ∫(ρ(P) - Ω) x ṽ dV

Grazie all'introduzione del C.O.M. P_o il mom. angolare totale si può scomporre in 2 termini in base al 1^o T. di König.

1^o T. di König.

O'(x'_i, y'_i, z'_i) con sist. di rif. mobile nel C.O.M. ad O' ≡ P_o

con assi // al sistema fisso.

P_i = P_i - P_o

ṽ_i' = ṽ_i - Ṽ_o pos. e vel. relative del punto

Il MOM. ANG. TOT. si può scrivere nella forma:

K(Ω) = (P_o - Ω) x Q + K(P_o)'

con K(P_o)' = Σ (P_i - P_o) x ṽ_i' momento ang. relativo del sistema attorno al centro di massa

Dimostrazione

Note:P_i = P_o + r_i'ṽ_i = Ṽ_o + ṽ_i'

Usando le relazioni:

Σ_i=1 m_i (P_i - P_o) = 0

Σ_i=1 m_i ṽ_i' = 0

5.5 Sistemi Dinamici

Il lavoro virtuale e il principio di d'Alembert.

F_i: Forza tot. agente sul i-esimo punto

(consideriamo attive forz. esterne e F_i otturaϕ interne ed esterne).

Lavoro Virtuale

δL = ∑_i=1^N F_i ⋅ δr_i

δL = δL^&hat;ϕ + δL^&hat;Ω

δL^&hat;ϕ = ∑_i=1^N Φ_i ⋅ δη_i

δa^&hat; = ∑_i=1^N F_i^(a) ⋅ δη_i

Potenza Virtuale

Utilizzando le vel. virtuali posso definire

δW⊃&hat; = ∑_i=1^N F_i ⋅ v^&hat;_i

δW⊃&hat; = δW^&hat;ϕ + δW^&hat;Ω

δW_ϕ^&hat; = ∑_i=1^N Φ_i ⋅ v^&hat;_i

δW_Ω^&hat; = ∑_i=1^N F_i^(a) ⋅ v^&hat;_i

δL^&hat;ϕ = ∑_i=1^N Φ_i ⋅ δη_i > 0

Lavoro virt. delle forz. line. sempre pos.

“δW_ϕ^&hat; > 0”

In presenza di vincoli olonomi, tutti gli spost. sono reversibili

δL^&hat;ϕ = ∑_i=1^N Φ_i ⋅ δη_i > 0

↓ ↔ δL_ϕ^&hat; = ∑_i=1^N Φ_i ⋅ δη_i = 0

δW^&hat;_ϕ = ∑ Φ_i ⋅ δη_i ⋅ δυ⊃&hat; = 0