Appunti Meccanica razionale

B BA



    

,

A B C v v BA

A B '

x 3

x

Cinematica rigida 3 '

 x

P 2





      

,



dotato di moto rigido '

P C v v P

C x

 1

P O

x x

 1 2

 

 

                 

,

P C v v P v P v P P P

 

P P  

dOP dO

  d d P

   

          

0

v v P v v OP O

 

P P d t dt dt dt







d P d 2

        

0 0 costante

P P P

dt dt



          

, : costante è dotato di moto rigido

P C v v P P C



P        

,

P C v P v P



P

Il moto di C è rigido se e solo se le velocità di due punti qualunque di C hanno

uguali componenti lungo la loro congiungente



e vettori caratteristici del moto rigido.

I due vettori sono detti

v  Cinematica rigida

Formula fondamentale



      

,

P C v v P

 della cinematica rigida

P

Derivata di un vettore solidale

  

, vettore solidale a

P Q C u PQ C

du

d d

u PQ 

 



  

 u

= = PQ

v v

Q P dt

dt dt

Accelerazione in un moto rigido

d d

   

  

          



a a P a P P

 

P dt dt

 

  

          



,

P C a a P P



P    

        

 P=   ' ' '

Se ω0 P P P P P P

P’+P’P



 



     

      

         2

' ' '

P P P P P P P '

P

 

     2

 ' 

a a P P P



P

Spostamento elementare in un moto rigido P



 

         

v dt v dt dt P dP d dt P



P Cinematica rigida

Classificazione dei moti rigidi

Moto rigido di un corpo è sempre riferito ad un assegnato intervallo di tempo

=[t , t ]

I ₁ ₂

• Moto rigido traslatorio

traslatorio

Un moto rigido si dice quando, durante il moto, ogni terna solidale

t

con il corpo mantiene orientamento costante rispetto alla terna fissa I



Moto rigido traslatorio ω =0

 ˆ

 

ˆ '

1

' d e

d e    

      ˆ

ˆ ' 0

: 1, 2,3 ' costante 0 i

i  

e

Hp i e i

2

i  

dt

dt

 

: 0

 Hp

ˆ Moto rigido

'

d e 

      

ˆ ˆ

' =0 1, 2,3 ' costante 1, 2,3

i e i e i traslatorio

i i

dt 

        velocità di traslazione

P C v v P v v

 

P P  



  

         

a a P P a a

 

P P

Cinematica rigida

• Moto rigido rotatorio rotatorio quando esiste una retta solidale al corpo i

Un moto rigido si dice a

t asse di rotazione

cui punti hanno velocità nulla . Tale retta è detta .

I 

 

Moto rigido rotatorio a

  

  

  

=0

     

, QP QP a

P Q a v v QP

P Q  

           

,

P C a v v P v P



P P

   

         

2 2

 

' '

a a P P P a P P P



P P

proiezione di su

P’ P a uniforme

Un moto rigido rotatorio si dice se il vettore velocità angolare è

 

 0

costante . 

  2 '

a P P

P

Cinematica rigida

• Moto rigido rototraslatorio

rototraslatorio quando esiste una retta solidale al

Un moto rigido si dice r

t

corpo che mantiene orientamento invariato .

I 

 

Moto rigido rototraslatorio r

r

Possiamo scegliere l’asse solidale ₃

x’

ˆ ˆ

' '

d e d e

  

 

ˆ ' costante     

ˆ ˆ 

3 3 

0 ' =0 '

e r

e e

3 3 3

dt dt

  

           2

 '

P C v v P a a P P P

 

P P

• Moto rigido elicoidale

elicoidale

Un moto rigido si dice quando esiste una retta solidale al corpo:

r

   

// t I

A r v r

A 



Il moto elicoidale è un caso particolare del moto rigido rototraslatorio  r





         



, v

P C r v v P v r 

 

P  

     2

 '

a a P P P



P

• Moto rigido polare o sferico      

! : 0 t I

polare

Un moto rigido si dice quando C v 

 

    2





     '

a P P P

P C v P P

P

Moto rigido  

v v a a

traslatorio  

P P

Moto rigido  

    2

 '



   a P P P

v P

rotatorio P

P  

     

    2

 '

Moto rigido a a P P P

v v P 

 P

P

rototraslatorio 

   

Moto rigido v v P  

     2

 '

 a a P P P

P 

elicoidale P





v 

Moto rigido  

    2



 '

   a P P P

v P

polare P

P

Cinematica rigida

• Moto di precessione  precessione

Un moto rigido con un punto fisso si dice di se esiste una retta



asse di figura

al corpo ( ) passante per , durante il moto,

una che

solidale f asse di precessione

forma un angolo costante con una retta ( ) essa stessa

fissa p



uscente da p

  

  

 ˆ ˆ

u w

Moto di precessione u

p f

 ˆ  

d w 

   

    ˆ ˆ

ˆ ˆ 0

: cos costante   

ˆ 0 

u w

Hp u w u 

dt

  

 

ˆ ˆ



i tre vettori sono complanari u w

 p f   

ˆ 

ˆ ˆ

d w

  d u w w

  

  

ˆ ˆ   

    

: ˆ ˆ ˆ f

0

0 

Hp u w 0

u

u w

p f dt dt

 

    

ˆ ˆ cos costante costante Moto di precessione

u w  velocità angolare di precessione

p

 velocità angolare di rotazione propria

f regolare

Un moto di precessione si dice quando le due componenti del vettore

velocità angolare sono costanti.

Cinematica rigida

atto di moto stato cinetico

o di un corpo in un istante t fissato la

Si definisce

distribuzione delle velocità di tutti i suoi punti nell’istante di tempo considerato

atto di moto rigido

Un si dice quando la distribuzione delle velocità è regolata

dalla formula fondamentale della cinematica rigida .

de

f    

    

Atto di moto rigido all’istante t ,

traslatorio P C v t v t



P

de

f 

Atto di moto rigido all’istante t        

, ( ) ( ) ( )

rotatorio P C a t v t t P

P

(t) velocità angolare istantanea, asse di istantanea rotazione

a(t)

Atto di moto rigido def

rotatraslatorio 

       

, ( ) ( ) ( )

P C v t v t t P



all’istante t P

d ef

Atto di moto rigido  

        

, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

P C v t v t t P v t t

 

P

all’istante t

elicoidale

Sistemi di vettori applicati Cinematica rigida

Vettori caratteristici Vettori caratteristici



, ,

R M v 

O

Trinomio invariante Invariante cinematico



   

I R M I v 

O

Legge di variazione del Formula fondamentale della

momento risultante Cinematica rigida



      

M M PO R v v P



P O P

 (t)0  (t)

asse centrale//R asse di Mozzi // :

:

R0 I

  

. . I

   

A a c M R 

  

. .

2 A a M v t t

A R  2

A ( )

t

 

 ( ) ( )

t v t

R M 

   

   ( )

O A t

OA R  2

2 ( )

t

R Cinematica rigida I

       

  

    

0 !retta, asse di Mozzi (a.M.), . . a.M//

t A a M v t t t



2

A

Teorema di Mozzi Il più generale atto di moto rigido è elicoidale

(t)0 

Se esiste l’asse di Mozzi quindi scelto sull’asse di Mozzi si ha

I  

 

      

( ) ( ) Atto di moto rigido elicoidale

P C v t t t P

 2

P l’asse di Mozzi coincide con l’asse

 

   

(t) . . 0

Se 0 e A a M v t

I=0 di istantanea rotazione

A



   

( ) ( )

v t t P Atto di moto rigido rotatorio

P

(t)=0

Se l’asse di Mozzi non esiste e l’atto di moto rigido è traslatorio

    

(t) 0 (t) 0 (t)=0

 0

I I=0

Atto di moto

rigido Elicoidale Rotatorio Traslatorio

Moti rigidi piani

Un corpo si dice dotato di quando le velocità dei suoi

moto rigido piano

C  piano direttore

punti si mantengono sempre parallele ad un piano fisso detto



ovvero esiste un piano solidale con il corpo che si mantiene sempre parallelo

s '

x

ed equidistante ad π. 3

r P '

 x