Appunti Meccanica razionale

X X X X X X

2 3 1 2 1 3

 

  

2 2

X X X X X X

 

1 2 1 3 2 3

 

  

2 2

X X X X X X

 

1 3 2 3 1 2

Dinamica

Studio del moto dei corpi

in relazione alle cause che lo

determinano

Principi della Dinamica

 

P , m

Punto materiale

inerziale ogni

Si definisce osservatore rispetto al quale un punto materiale

isolato permane nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme.

primo principio della Dinamica postula l’esistenza di una classe di sistemi

Il

inerziali i cui moti naturali sono quelli ad accelerazione nulla

Ogni azione in grado di modificare lo stato di quiete o di moto rettilineo

 

uniforme di un corpo è detta P , F

forza

Secondo principio della Dinamica P,m

Un punto materiale ( ) soggetto a un

F inerziale

si muove (rispetto ad un osservatore ) con un'accelerazione

forza

direttamente proporzionale alla forza impressa secondo la legge di Newton:



ma F equazione fondamentale della

Dinamica del punto materiale

Terzo principio della Dinamica principio di azione e reazione

( ) Dato un

sistema di punti materiali interagenti tra loro, le forze che tali punti si

scambiano a due a due sono uguali in modulo, di verso opposto ed hanno la

stessa retta d’azione che coincide la retta congiungente i due punti P

P

interne

Le forze sono riducibili a coppie a braccio nullo! 1

2

Classificazione delle Forze

   

     

Ox x x P x , x , x F F , F , F

P , m P , F 1 2 3 1 2 3 1 2 3

 

 

F F x , x , t

  

F c , F c , F c

• F costante 1 1 2 2 3 3

 



F F x

• F posizionale Forza di attrito

  

 

 F v



F F x

• F dipendente dalla sola velocità viscoso

v

   



dL F dP F dx F dx F dx forma differenziale

Lavoro elementare 1 1 2 2 3 3 conservativa

posizionale F x

Una forza ( ), definita in un dominio D, si dice  

  

U U U 

U U x potenziale

 

      

U x : F U F , F , F  

1 2 3

   energia

x x x  

V ( x ) U x

1 2 3 potenziale

Proprietà caratteristiche di una forza conservativa

Hp: D semplicemente connesso

 

 



1) U x : dL= F dP dU





  



2) F dP U ( P ) U ( P )

P P 2 1

1 2  P P 

1 2



  

3) chiusa F dP =0

 

F 0

F

4) è irrotazionale

Operatori differenziali

l’operatore differenziale

Gradiente di una funzione scalare u ( x , x , x ) nabla

vettoriale

1 2 3   

  

u u u  ( , , )

  

gradu u ( , , )   

x x x

  

x x x 1 2 3

1 2 3 

v ( x , x , x ) ( v , v , v )

Divergenza di una funzione vettoriale 1 2 3 1 2 3



  v

v v

      3

1 2

divv v   

x x x

1 2 3

Laplaciano di una funzione scalare u ( x , x , x )

1 2 3

  

2 2 2

u u u

    

u div ( gradu )   

2 2 2

x x x

1 2 3 

v ( x , x , x ) ( v , v , v )

Rotore di una funzione vettoriale 1 2 3 1 2 3

 

 

   

v v

v v v v

      

3 3

rotv v , ,

2 1 2 1

 

     

x x x x x x

 

2 3 3 1 1 2

  

v 0

v solenoidale

Un campo vettoriale si dice se   

v 0

v irrotazionale

Un campo vettoriale si dice se

Forze conservative

   

P , m P , F      

F c F c F c

, , dL F dx F dx F dx

Forze costanti 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3

 

 

      

    d F x F x F x

dL d F x d F x d F x dU

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3 U

 

    



U x , x , x =

F x F x F x +cost: dL = F d P dU F conservativa

1 2 3 1 1 2 2 3 3 x

Forza peso      P

F mg F F 0, F mg mg

3

p 1 2 3 x



U = - mgx cos t x 2

O

F 3 1

p  



P x , y , 0

Oxy Oy

piano verticale con verticale discendente x

O

   

F m g F 0, F mg , F 0 P

p 1 2 3 mg



U =

mgy cos t y

F p

Oxy Oy

piano verticale con verticale ascendente y

     P

F m g F 0, F mg , F 0 mg

p 1 2 3 x

 O

U =-

mgy cos t

F p

Forze conservative

  

 ˆ

P , F : F ( r )

u

  

ˆ

OP ru

Forze centrali ( r ) 0 repulsiva

 ( r ) funzione continua

  attrattiva

( r ) 0

û

F  

  

ˆ ˆ 

dP rdu dru   

ˆ ˆ ˆ

 

dL F dP u rdu dru

P

O

centro di forza    

 

  

ˆ ˆ



dL ru du dr r dr

 

   

( ) ( ) +cost :

U r r dr dL dU F conservativa



  

ˆ

F kru kr

, (r)=

  >0

F kOP k

Forza elastica el

el k

k 2

  

  U OP +cost

 

U ( r ) k r dr +cost= 2

r +cost F

F 2

el

2

el Mm Mm

Forza gravitazionale 

  

ˆ (r)=

F h u h

g 2 2

r r

di Newton Mm Mm



 

U r h dr

( ) +cost = h +cost

F 2

r r

g

Dinamica del punto materiale libero

    Ox x x sistema di riferimento inerziale

P , m P , F 1 2 3 Sistema di 3 EDO



   

 mx F ( x , x , x , x , x , x , t )

1 1 1 2 3 1 2 3 del II ordine di

 

     

 mx F ( x , x , x , x , x , x , t )

ma F ( x , x , t )  forma normale

2 2 1 2 3 1 2 3

 nelle 3 incognite



   

mx F ( x , x , x , x , x , x , t )

 x₁, x₂, x₃

3 3 1 2 3 1 2 3



  

 x x (

t )

C.I : x (0) x x (0) v y₃

0 0 x₃ P.

O ' y y y sistema di riferimento non inerziale y₁

1 2 3 O’ y₂ x₂



( a ) ( r ) ( ) ( c )

  

a a a a

  x₁ O

P P P P



( r ) ( ) ( c ) 

    ( r ) ( ) ( c )

m a a a F   

  ma F ma ma

ma F

 

( ) ( )

 

F ma forza di trascinamento 

( r ) ( ) ( c )

  

ma F F F

( ) ( )

c c

 

F ma forza di Coriolis Equazione fondamentale della

Forze fittizie o apparenti dinamica relativa

 

( )   2

Moto di trascinamento rotatorio uniforme a P ' P

 

( )  2

F m P ' P (forza centrale)

Forza centrifuga m 2

  

  2

   U PP ' +cost

 2 2

ˆ

F m ru m r

, (r)= Fass 2

   

P , m P , F Momento della quantità di moto

Quantità di moto  

 K 0 P mv

q mv O

1

 2

T mv

Energia cinetica 2

Spostamento elementare Potenza

Lavoro elementare   

F v

 

dP vdt 

dL F dP 

  dt



d L F v

d t

Teorema dell’energia cinetica o delle forze vive  

2 d m

dv m dv 

       

 2

    

ma F ma v F v v

m v  

dt 2

 

dt 2 dt

dT  



 dT dL

dt  



  

mx F x x t

( , , ) 



x , x , t costante

Integrale primo del moto

Un integrale primo del moto esprime la conservazione di una grandezza

durante il moto cioè tale grandezza si mantiene costante durante il moto.

   

Integrali primi del moto P , m P , F



dT dL

Teorema dell’energia cinetica o delle forze vive

   

    

  

U x : dL dU d T U 0

F conservativa

Hp: dT dU

1    

 

T U E E =

costante    

2 2 2

  

m x x x U x , x , x E

1 2 3

2 1 2 3

Energia meccanica T+V=T-U Integrale primo dell’energia

L’integrale primo dell’energia rappresenta la legge di conservazione

dell’energia meccanica del punto materiale

.

 

 OP F 0

F // OP

F central

Hp: forza e:

 

ma F   

     

OP ma 0

OP ma OP F OP mv c

d

d  

 

   

  

   OP mv c

  OP mv 0

v mv OP ma

OP mv dt

dt Integrale primo delle aree



K c

O

In un moto centrale l’integrale primo delle aree rappresenta la legge di

conservazione del momento della quantità di moto del punto, calcolato rispetto

al centro delle forze.

Dinamica del punto materiale vincolato

   

P , m P , F Ox x x sistema di riferimento inerziale

1 2 3

Postulato delle reazioni vincolari

L’azione che un vincolo esplica su un punto materiale è sostituibile con quella

   



P ,

di una forza detta P , F (

reazione vincolare forza attiva)



 



 mx F Sistema di 3 EDO del II ordine

1 1 1





   di forma normale nelle 6 incognite

ma F 

 



mx F

   

x , x , x , , ,

2 2 2

 1 2 3 1 2 3



 



mx F

 3 3 3

O ' y y y sistema di riferimento non inerziale

1 2 3 



( r ) ( ) ( c )

   

ma F F F

Dinamica del punto materiale vincolato

Legge di Coulomb-Morin

• Se il vincolo è unilaterale la reazione vincolare è diretta nella porzione di

spazio consentita dal vincolo

• Se il vincolo è bilaterale la reazione vincolare può essere diretta nell’una o

nell’altra porzione di spazio non consentita dal vincolo

• Il modulo della reazione vincolare può essere comunque grande

• La reazione vincolare si può scomporre in un componente tangente al

vincolo ed in un componente normale

 

 

A N

Attrito dinamico 