Appunti lezione Geometria e algebra lineare, anno 2024-2025

Esercizio

Sia x + y - 4 t = 0

A = (2,t) B = (0,1)

Determina punti P per t.c.

1. L'area del triangolo ABP sia uguale a 1
2. Il triangolo ABP sia isoscele di base BP
3. La circonferenza di centro P passante per A ha raggio e centro di area minima
4. OR ⊥ OP
5. Esiste circonferenza di centro O passante per A e P
6. Determinare il raggio della circonferenza di centro O tangente ad n

Svolgimento

a)

A = |VP x PA| / 2

|AP| = √2 t - 1

|AB| = √2

Area = |t - 1|

• P₁ = (1,2) - 1

|Area = 1| |t - 0.2|

• P₂ = (1,0)

b)

|AB| = 2

|AP| = √(t + t - 2)² + (t - 1)²

• x_p, x_n
• y_q, y_n

= √2t² + 8t + 10

|AP|=|AP|²

|AP|=|AP| |AP|²=4

P=(-1,t) t

• (0,1)=P₃
• (2,3)=P₄

Esercizio

Sia x + y - 4 + t = 0

A(2,1) B(0,1)

Determina punti P per i.c.

1_c L’area del triangolo ABPSe uguale a 1

2_c Il triangolo ABP sia isoscele di base BP

3_c La circonferenza di centro P passante per AHa raggio e… circon di area minima

4_c ōr ∪ ∩r

5_c Esiste circonferenza di centro O passante per A C P

6_c Determinare il raggio della circonferenza di centro OTangente ad &xsf;

Svolgimento

a)

| A^̂ | = | BP | | AP^̂ |/2

| BP | = | √2 t-1 || AP^̂ | = √2 | A | = | t - 1 |

p₁=(1,2)-1p₂ = (1,0)

b) | AB^̂ | = 2

| AP^̂ | = √(1 + t - 2)² + (t - 1)²x_a, x_b y_a, y_b

= √2t² + 8t + 10

| AB^̂ | _{= | AP^̂ |}

P = (-t,t,t)

c_{o = p3(2,3) = p4}

c)

• Area (disco) = π P² N
• min (π ||ÃP²||; P ||N - N || P²) = π ||N ||²
• L' area minima è π (√2)² = 2π
• il raggio è √2

MODO ALTERNATIVO

• Area disco = π N Ø || = π (2t - 2t + 10) = f (t)
• min f: IR > IR

d)

• Ã = (z,1) ; õ N = (2,1)
• P = (-1-t, t) ; oP = (1+t, t)
• õÃ | oP ⇔ =0 ⇔ =0
• ⇔ 2 (-1-t) +1t = 0 ⇔ -t-2=0 ⇔ t=2/3
• P = (-1+t,t)=(1/3,2/3)

e) (come b)

Bisogna imporre |õÃ|=|oP|

• e si trovano : punti (z,1) e (1,2)

f)

circ. È tangente sse il raggio = t

d(o,µ)=|1-0-1,0+1|/√2=√2/2

GEOMETRIA DELLO SPAZIO

Def. Un vettore dello spazio è una coppia ordinata (A,B) di punti nello spazio, si indica con AB.

• Le def di punto di applicazione, direzione, verso, modulo, vers paralleloed equipollenti sono analoghe a quelle del piano.

Fissiamo O punto nello spazio e definiamo: V₀³ = {OP: P punto nello spazio }

• In V₀³ introduciamo due operazioni:
  • somma di vettori di V₀³ definite
  • prodotto per scalare come per V₂

• V₀³ con queste due operazioni è SPAZIO VETTORIALE

ELEMENTI DI GEOM. EUCLIDEA

• P₁, ..., P_n punti si dicono allineati se sono sulla stessa retta
• P₁, ..., P_n si dicono complanari se sullo stesso piano
• Per due punti distinti passa una sola retta
• Per tre punti non allineati passa un solo piano
• Due punti sono sempre allineati
• Tre punti sono sempre complanari
• Per n punti passano ∞ rette
• Se in un piano considero due punti distinti, considero tutta la retta per questi due punti

Per due punti passano ∞ primi

Def

Due vettori _ōn, _ōb ∈ V³ si dicono allineati

se O, A, B sono allineati

Prop 1

1. Due vettori _ōA, _ōB ∈ V³ sono L.DP sse sono allineati
2. Se _ōA, _ōB non sono allineati, esiste un unico piano che li contiene

Dim

1. Uguale a V²
2. • Se _ōA = ōn e _ōB = ōb non sono allineati: => O, A, B non sono allineati
   • Le rette per o, A e per o, B sono sul piano
   • Quindi _ōA, _ōB sono su piano

Prop 2

Sia Π piano per l'origine, e sia E = {_ōp per l ∈ V³₀}

Allora E è sottospazio di V²₀ di dimensione 2, che possiamo identificare con V²

Dim (Idea)

• Si verifica che E è chiuso per somma e prodotto scalare, e che _ōo ∈ E
• Si verifica che due vettori _ō1, _ō2 ∈ E non allineati sono base di E

=> dim(E) = 2

PROP. 3

Tre vettori di V³ sono L. INDIPENDENTI sse sono COMPLANARI (cioè sullo stesso piano)

dim

"⇒"Supp. v⃗₁, v⃗₂, v⃗₃ L. INDIPENDENTI cioè, ad esempio, v⃗₃ = av⃗₁ + bv⃗₂, a, b ∈ RAllora

• i 3 ex sono allineati ↔ almino 2 generati sugli altri sono allineati ↔ i punti v⃗_i v⃗_l allineati

v⃗₁, v⃗₂ non allineati