Appunti lezione Geometria e algebra lineare 2024-2025

es

Trovare eq. del piano π' parallelo a π: 2x - y + 3z = 0 passante per P₀ = (1, 0, 1)

solu

π': 2x - y + 3z + k = 0, k ∈ ℝ

Imponiamo P₀ = (1, 0, 1) ∈ π':

2 · 1 - 0 + 3 · 1 + k = 0 ⇒ k = -5

π': 2x - y + 3z - 5 = 0

PROPOSIZIONE

Dato π: ax + by + cz + a = 0, ogni π' // π ha eq

π': ax + by + cz + k = 0, k ∈ ℝ

es

Sia M:

• x + y - z + 1 = 0
• x - y + 3z - 3 = 0

Trovare

1. Equaz_parametriche di r, p. dir. di n
2. Equaz_{parametriche e cartesiane} di M' // M per P₀ = (1, 1, 0)

solu

Risolo il sistema

A = \(\begin{pmatrix}1 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 3 & 0\end{pmatrix}\) ⇒ A = \(\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 4 & 0\end{pmatrix}\)

pongo z = t ⇒

• x + y - z + 1 = 0
• -2y + 4z - 4 = 0
• -z = t

x = -t

y = -2t - 2

z = t, t ∈ ℝ

es

Trovare eq. del piano π′ parallelo a π: 2x - y + 3z = 0

passante per P₀ = (1, 0, 1)

solv

π′: 2x - y + 3z + k = 0, k ∈ ℝ

Imponiamo P₀ = (1, 0, 1) ∈ π′:

2·1 - 0 + 3·1 + k = 0 → k = -5

π′: 2x - y + 3z - 5 = 0

PROPOSIZIONE

Dato π: ax + by + cz + a = 0, ogni π′ // π ha eq

π′: ax + by + cz + k = 0, k ∈ ℝ

es

Sia M:

{ x + y - z + 1 = 0 x - y + 3z - 3 = 0

Trovare

a) Equⁱ parametriche di r, p. dir. di n

b) Equⁱ parametriche e cartesiane di M′ // M per P₀ = (1, 1, 0)

solu

Fisso il sistema A = (1   1   -1   0 1   -1   3   0) → A = (1   -1   10 0   (z)   4   0)

Pongo z = t →

{x + y - z + 1 = 0 x - y + 3z = 0

⇒ x = r

  (z)t →y = -2z + 1

⇒ z = t, t ∈ ℝ

p. dimetran : (-1, 2, 1)

b)

M':

• x = 1 - t
• y = 1 + 2t
• z = t

t = z, M':

• x + z - 1 = 0
• y - 2z - 1 = 0

Digressione su sott. vettoriali

• Sia S sistema lineare in h incognite.
• Sol(S) è sottinsieme di R^h

• S omogeneo, è sottospazio di R^h
• S non omogeneo, non è sottospazio

Ad esempio

S: {x + y + 2 t = 0 x + 4 + 3 z - 3 = 0 }

Sol(S) = {[-1 - 2 + 2 t] tt ∈ R} = [ (1/2) 0 ] + t [ -1/2 1 ]

Ad esempio, nel piano, siamo

M: x = 2y M': x - 2y + 3 = 0

N: {x = 2t y = t t ∈ R }

N': {x = 2t - 3 y = t t ∈ R }

• P = (x, y) ∈

M ⇔ (x, y) = (2t, t) = t (2, 1)

M'⁰⇔ (x, y) = (2t - 3, t) = (-3, 0) + t (2, 1)

Def

Sia E sottospazio di Rⁿ, sia v₀∈Rⁿ.

L’insieme v₀+E={v₀+v : v∈E}

è detto SOTTOSPAZIO AFFINE

Definiamo dim(v₀+E)=dim(E)

POSIZIONI RECIPROCHE DI RETTA E PIANO

Siano Π piano, M retta nello spazio. Allora

Π∩M possono essere:

• P, punto
• M, la retta stessa
• ∅

Piano e retta si dicono paralleli

ES INTERPRETARE → con le soluzioni di un sistema lineare!! Fallo!

Def

Dato π: ax+by+cz+d=0, (a,b,c) si chiamano parametri di giacitura di π

Prop

Sia π: ax+by+cz+d=0, Sia π retta con p. direttori (l,m,n)

Allora π//π sse

al+bm+cn=0

Dim

• π₀ // π per O ; m₀//m per O
• se π // π → π⊂ π₀
• se (l,m,n) p. diri. di π → (l,m,n) ∈ π₀
• Allora (l,m,n) ∈ π₀ → al+bm+cn=0

eq. ax+by+cz=0

Es

Stabilire se π:

• x-2y+z=0
• y-2z+1=0

e π: 3x-2y+z=1=0 sono PARALLELI

SOLUZ

x - 2 + 3ty = 4 + 2tz = t, t ∈ ℝ

P. dir. di M: (3, 2, 1)P. giacitura: (3, 2, 1)33 + 2 (2) + 1 · 1 = 09 - 4 + 1 = 6 ≠ 0

NON SONO PARALLELI

M : { ax + by + cz + d = 0a'x + b'y + c'z + d' = 0

• L' eq di un generico piano per M è data da

K ( ax + b₁ + cz + d ) + h ( a'x + b'y + c'z + d' ) = 0 k, h ∈ ℝ

es.

Sia P₀ (-1, 2, 3) e siaM : { x - 4 + z = 02x + y - z = 0

• Trovare il piano Π per P₀ contenente M (P₀ ∉ M)

Π: K ( x - y + z ) + h ( 2x + y - z ) = 0h, k ∈ ℝImponiamo P₀ ∈ Π: K ( 1 - 2 + 3 ) + h ( 2 + 2 - 3 ) = 0K + h = 0 ↔ k = -h

Scegliamo h=1, k=-1

π: (x-y+z)+(2x+y-z)=0

π: x+2y-z=0

ES

Trovare l'eq cartesiana del piano π corrente

π:

• x-y+z=0
• x-z-1=0

e parallelo alla retta r:

• x+y-1=0
• x+z-2=0

SOLU

Modo 1

m:

• x=z-t
• y=-1-t
• z=t, t∈ℝ

p. dir: [-1,1,1]

π: k(x-y+z)+h(x-z-1)=0

⇔

(k+h)x+ky+(k+h)z-h=0

a         b     c

-(k+h) -k+ (k+h)1 - h = 0

(π // π₁)

⇔ -2h-h = 0

⇔ h = 1, k = -3

π: -3(x-y+z)+(x-z-1)=0

-3x+3y-3z+x-z-1=0

-2x+3y-4z-1=0