Appunti lezione Geometria e algebra lineare

Riepilogo Lezione (21)

f : V → V endomorfismo, dim(V) = n

è diagonalizzabile sse esiste BASE di V di AUTOVETTORI di f

• A matrice associata ad f (quasiass)
• P_A(λ) polinomio caratteristico
• AUTOVALORI λ₁,..., λ_k di f sono le RADICI di P_A(λ)

f è diagonalizzabile sse

∑_i=1^k MG(λ_i) = n (1° cert.)

P_A(λ) T.Q. RIDUCIBILEEMA(λ_i) = MG(λ_i)   Vi

Se f è diagonalizzabile sicalcolano gli AUTOSPAZI E(λ)ciascuno con BASE Bi. Una BASE di R^k di AUTOVETTORI è B₃ ∪... ∪ B_k

Riepilogo Lezione (27)

f: V → V endomorfismo, dim(V) = n

è diagonalizzabile sse esiste BASE di V di AUTOVETTORI di f

• A matrice associata ad f (quasisši)
• P_A(λ) polinomio caratteristico
• AUTOVALORI λ₁, ..., λ_k di f sono le RADICI di P_A(λ)

f è diagonalizzabile sse

1. ^k∑_i=1 MG(λ_i) = n (1^a cert.)
2. P_A(λ) tot. riducibile
3. MA(λ_i) = MG(λ_i) ∀i (2^a cert.)

Se f è diagonalizzabile si calcolano gli AUTOSPAZI E(λ_i) ciascuno con BASE B_i. Una BASE di R^h di AUTOVETTORI è B₃∪...∪B_k

(ES 1)

f: Mat (2x2) → Mat (2x2)

f( y zbr> w ) = (x+3y+z y-2wz+2w 2w)

• Calcola A, matrice associata ad f risp a (E₁₁, E₁₂, E₂₁, E₂₂)
• Stabilire se f è diagonallzzabile
• Autospazi? (In ogni caso)

Solu

f(E₁₁) = f( 1 0 0 0) = 1 E₁₁ + 0 E₁₂ + 0 E₂₁ + 0 E₂₂

f (E₁₂) = ... , f (E₂₁) = ... , f (E₂₂) = ...

A = (1 3 0 00 0 1 00 0 0 10 2 0 0)

corddi f(C_n)

Mat (2x2) ∼ R⁴

P_A (λ) = (λ - 1)³(λ - 2)

• AUTOVALORI 1,2
• 1^er CRIT.

MG (1) = 4 - RK (A - 1·I) = 4 - RK (3 0 0 00 -1 1 00 0 1 00 2 0 -2) = 4

3 = 1

MG (2) = 1

MG (1) + MG (2) = 2/= 4 = dim (Mat (n×n))

NO DIAG.

• 2 ^er CRIT

P_λ(1)_n è tot. Intdicibile

MA (2) = 1 = MG (2)

MA (1) = 3 ≠ 1 = MG (1)

f non è diag.

E (2) ha eq(A - 2·I) X = ΘX = (1200)

(1 3 0 00 0 1 00 0 0 10 2 0 0) (xyzw) = (00...

S :

• x + 3y + t = 0
• y + t + w = 0
• t + 2w = 0
• 0 = 0

sce(S) = L _{(1 -2 1)}^T

E(z) = L _{(-1 1 2 -1)}^T

E(n) = L _{(0 0)}^T= L [0₆]

ESERCIZIO 2

f: R⁴ → R⁴ con m.quadratica

A = ( 2 0 0 3 ) ( 0 2 0 0 ) ( 3 0 2 3 ) ( 0 0 1 0 )

• diagonalizzabilità?
• Trovare mat. diagonale D e inveribile M t.c. D = M^-1AM

Soluzionep_A(λ) = det ( 2 - λ 0 0 3 ) ( 0 2 - λ 0 0 ) ( 3 0 2 - λ 3 ) ( 0 0 1 -λ )

= ( 2 - λ ) det ( 2 - λ 0 ) ( 0 2 - λ )

- 3 . det ( 0 2 - λ ) ( 1 -λ )

= ( 1 - λ ) det ( - λ 0 ) ( 0 2 - λ 3 )

= ( - λ ) (2 - λ ) - 3 = 3 . 2 - λ( 2 - λ ) - 3

= ( - λ ) (2 - λ 3) ((1 - λ )) (1 - λ ) - 6

= ( λ² ((2 - λ )(2 - λ 3) - (λ² - 4 )

= λ² ( λ - 4 )

→ radici = -1, 3

→ radici = -4

= ( λ + 1 ) ( λ - 3 ) ( λ + 1 ) ( λ - 4 )

= ( λ + 1 )² ( λ - 3 ) ( λ - 4 )

• P(A) e' TOT IRRIDUCIBILE
• AUTOVALORI -1,3,4 H(λ=-1) = 2 = H C(-1) V H(λ=3) = 1 = H C( 3 ) V H(λ=4) = 1 = H C(4) V

H C(-1) = n - rk ( A - ( -1 ) I ) = 4 - rk ( A + T ) = 4 - rk ( 2 0 0 0 3 ) ( 0 2 0 0 ) ( 3 0 2 3 ) ( 0 0 1 0 0 ) = 4 - 2 = 2

f e' DIAG ( 2^o crit )

− AUTOSPAZI

E(1)hq eq.(A+I)X=∅

⇔⎣⎡

2 2 0 3

3 3 0 0

0 0 0 2

−1 2 1 4

⎦⎤X=⎝⎜⎛

⎠⎟⎞0 0 0 0

⇔⎨

⎧2x1+2y1=0

3x+2y=0

3z+3y−u1=0

2z+w1=0

x+4y=0

z+w=0

⎫

⎬

⎭

E(−1)=L⎣⎢⎡

1 0 0

0 1 0

⎦⎥⎤

E(3)=L⎣⎢⎡

0 0 1

⎦⎥⎤

E(4)=L⎣⎢⎡

1 2 0

⎦⎥⎤

E(−1)ho base (v1,u2)

E(3)u4 (u1,)

E(4)u4 (u4)

base di⎯⎯⎯di autovettori di e’

(u1,v2,v3,u2)

D=M−1AM dare

D=⎝⎛

−1 0 0 0

0 −1 0 0

0 0 0 0

0 0 0 4

⎠⎞

M=⎝⎜⎛

−1 0 2 0

−1 0 3 0

0 1 1 0

0 0 1 4

⎠⎟⎞

↑ ↑ ↑ ↑

u1 u2 v3 u4

DIAGONALIZZAZIONE DI MATRICI

Sia ∈ (×). ∈ ℝⁿ si dice autovettore di con autovalore ∈ ℝ se

=

è autovettore di se è autovettore di : ℝⁿ > ℝⁿ di cui è matrice canonica

Def

1. Una matrice ∈(×) si dice diagonalizzabile se lo è : ℝⁿ > ℝⁿ di cui è matrice canonica
2. Diagonalizzare ∈(×) vuol dire trovare (se possibile) una matrice diagonale e una matrice invertibile t.c.

= ⁻¹

esempio

Diagonalizzare, se possibile, le matrici

₁= _{(2 0 0)(2 1 0)(0 0 1)}, ₂= _{(7 -4 2)(0 3 0)(0 5 5)}

ₐ() = det_{(- 0 0)(0 1- 0)(0 0 1-)} = (2-) (1-)² _{Tot Ped.}

autovalori 2,1

ₐ(1) = 2

(2) = 1 = m(2)

m.c.(1) = n - rk(A - I) = 3 - rk

^{(1 0 0)}

_{(0 0 2)}

(0 0 2)

= 1

MA(I) ≠ m.c.(1) A non è diag.

A₂

P_A2(λ) = (λ - 3)²(λ + 1)

Autovalori 3, 1

MA(-1) = 1 = m.c.(-1)

MA(3) = 2

m.c.(3) = n - rk

⎛ A₂ - 3I

^{(1 -4 -4)}

_{(0 0 2)}

(1 -4 -2) ⎞

= 3 - 1 = 2

A₂ è diagonalizz.

ξ(3) = L

⁽¹⁾

₍₁₎

; ξ(-1) = L

(10)

(v₁, v₂, v₃) base di ^p₃ di autovettori di A₂ e

quindi D = H^-1A₂H con

D =

^{(3 0 0)}

_{(0 3 0)}

(0 0 -1),

H =

^{(1 1 2)}

_{(1 0 0)}

(0 1 2)

Prodotto Scalare

• Siano , ∈ ℝ, 
 = ^x₁) (… ) ^x_n , = ^y₁) (… ) ^y_n

Definiamo il prodotto scalare di , come

⟨,⟩ = x₁y₁ + x₂y₂ + ⋯ + x_ny_n

(,) ∈ ℝ

ES

= ¹)²)³ , = ⁴)⁵)⁶ di ℝ³

⟨,⟩ = 1·4 + 2·5 + 3·6 = 4 + 10 + 12 = 32

ES

= ¹)¹)¹ , = ¹)¹)¹ di ℝ³

⟨,⟩ = 1·1 − 1·1 + 0·1 = 0

• Def 
Due vettori , ∈ ℝ si dicono ortogonali se

⟨,⟩ = 0

e si scrive ⊥

OSS

= ¹)⁰)⁰ , = ⁰)¹)⁰ , ⟨,⟩ = 0

Dim anche autores

PROPRIETÀ DEL PRODOTTO SCALARE

1. <u,v> = <v,u>   ∀u,v∈ℝ   (commut.)
2. <u+v,w> = <u,w> + <v,w>
3. <ku,v> = k<u,v>   ∀k∈ℝ   è bilineare
4. <u,u> ≥ 0   ∀u = ^(x₁ _xₙ)   <u,u> = x₁² + ... + xₙ²
5. <u,u> = 0 sse u = ⁽⁰ ₀₎   è definito positivo

Def

Chiamiamo √<u,u> NORMA di u:

||u|| = √<u,u>

||u|| = √(x₁² + ... + xₙ²)

u = ^(x₁ _xₙ)

OSS:

u = ⁽¹ ₂₎ ,   ||u|| = √(1² + 2²) = √5

Teorema - Disuguaglianza di Schwarz

Dati u, v ∈ ℝⁿ, si ha sempre

⟨u,v⟩ ≤ ||u|| ||v||

Si ha "=" se e solo se u e v sono uno multiplo dell'altro (l.dip.)

Esempi

1. u = \(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)

   v = \(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)

   ⟨u,v⟩ = 0

   ||u|| = √(1² + 0²) = 1

   ||v|| = 1

   ⟨u,v⟩ ≤ ||u|| ||v||

   0 < 1 ⋅ 1

2. u = \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)

   v = \(\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \end{pmatrix}\)

   ⟨u,v⟩ = -2

   ||u|| = 1

   ||v|| = 2

   |⟨u,v⟩| = ||u|| ||v||

   1 ⋅ 2 = 1 ⋅ 2

Oss

Se u, v ∈ ℝⁿ, u,v ≠ ∅

|⟨u,v⟩| ≤ ||u|| ||v|| ⇔ ...

-1 ≤ ⟨u,v⟩ ≤ 1

||u|| ||v||

QUINDI