Appunti Geometria e algebra lineare

Esercizio

V = ℝ³

U = L _u1u2u3; W = L _w1w2

• Base e Dim di U, W

• U

dim(U) = rk_u1u2u3= 2

U = _v1,v2base è (v₁,v₂)

• W

dim(W) = 2

W = _w1,w2base (w₁,w₂)

U ∩ W

• cerchiamo eq. cartesiane di U e W
• _{Eq. di U}

U = (x y z) appare una ad U

sse rk_v1v2= 2

sse det_1x2= 0

cioè -2x + y + z = 0_{Eq. di U}

• _{Eq. di W}

rk_w1w2= 2 sse _{Eq. di W}

U =

1. x = 2xt+yt+z = 0

W =

1. z = 0

U ∩ W =

1. -2x+yt+z = 0
2. z = 0

[eq. di U ∩ W]

• Per trovare base e dim (U ∩ W) risolviamo

1. -2x+yt+z = 0
2. z = 0

poniamo y = t, z = 0, x = t/2

• U ∩ W =

1. t/2 0
2. t ∈ R

1. t 1/2
2. t 0

1. t ∈ R

• e quindi è BASE di U ∩ W; dim(U ∩ W) = 1
• U + W

U + W = L (v₁, v₂, w₁, w₂)

1. L (1/2, 0); (0, 1); (0, 0)

dim(U + W) = R(1, 2, 0, 0; 0, 1)

• det = 1

base è (v₁, v₂, w₁)

OSS 1

dim (U + W) = 3

U + W ⊆ R³, dim (R³) = 3

⇒ U + W = R³

OSS 2

dim (U + W) = dim (U) + dim (W) - dim (U ∩ W)

3 = 2 + 2 - 1

TEOREMA (Grassmann)

Siano U, W sottospazi di V.

Allora si ha sempre:

dim (U + W) = dim (U) + dim (W) - dim (U ∩ W)

ESEMPIO

Siano U, W sottospazi di R⁵, con

dim (U) = 3, dim (W) = 5 Che valori ha dim(U ∩ W)?

OSS. preliminare “poco preciso”

0 ≤ dim (U ∩ W) ≤ 3

Rifiniamo la stima con Grassmann:

5 ≤ dim (U + W) ≤ 6

dim (U + W) = dim (U) + dim (W) - dim (U ∩ W)

Grassmann: dim (U ∩ W) = dim (U) + dim (W) - dim (U + W)

3 + 5 - 6

quindi

dim(∩w)={3 (se dim(∪w)=5)

2 (se dim(∪w)=6)

}

OSS quando dim(∪w)=3?

se dim(∪w)=3

e ∩w ⊆ dim()3

}=>=∪