Appunti lezione 2024-2025 Geometria e algebra lineare

Esercizio

Trovare eq. parametriche di m per P₀(1,1,2)

E = ₁ - 3₂ + ₃

E' vero che M || S dove

S: {x = -2t y = 4 + 6t z = 1 - 2t, t ∈ R ?

Solu

M: {x = 1 + t y = 1 - 3t z = 2 + t, t ∈ R

= (1, -3, 1) e il vettore direttore di M

• p. dir di S: (-2, 6, -2)
• M || S perché i par. direttori sono prop.

Proposizione

Due rette sono || sse hanno p. direttori proporzionali

Esercizio

Trovare eq. para di m per P₁ = (1, 2, 1) e P₂ = (0, 1, 3)

Solu

M: {x = 1 - t y = 2 - t z = 1 + 2t, t ∈ R

• M passa per P₁: (1, 2, 1)
• p. direttori sono le coord. di P₁P₂ = P₂ - P₁ = (-1, -1, 2)

Esercizio

Trovare eq. parametriche di M per P₀(1,1,2)

e ∇ a _v = -3e₂ + e₃

È vero che M // S dove

S:

• x = -2t
• y = 2 + 6t
• z = 1 - 2t, t ∈ R

Soluzione

M:

• x = 1 + t
• y = 1 - 3t
• z = 2 + t, t ∈ R

_v = (1, -3, 1) è il vettore direttore di M

• p. direttore di S: (-2, 6, -2)
• M // S poiché i par. direttori sono proporzionali

Proposizione

Due rette sono // sse hanno p. direttori proporzionali

Esercizio

Trovare eq. para di M per P₁ = (1, 2, 1) e P₂ = (0, 1, 3)

Soluzione

M:

• x = 1 - t
• y = 2 - t
• z = 1 + 2t, t ∈ R

• M passa per P₁ = (1, 2, 1)
• p. direttori sono le coord. di P₁P₂ = P₂ - P₁ = (-1, -1, 2)

Proposizione

Siano P₁ = (x₁, y₁, z₁), P₂ = (x₂, y₂, z₂) distinti.

La retta r per P₁ e P₂ ha eq. parametrica

• x = x₁ + (x₂ - x₁)t
• y = y₁ + (y₂ - y₁)t
• z = z₁ + (z₂ - z₁)t
• t ∈ ℝ

Posizioni Reciproche di Rette Nello Spazio

ES 1

Siano

• M: x = 3 + t y = 2 z = 1 - t, t ∈ ℝ
• M': x = 4 + s y = 1 + s z = -s, s ∈ ℝ

Stabilire se si intersecano e nel caso calcolare la loro intersezione.

SOLV. Cerchiamo t, s ∈ ℝ t.c.

• 3 + t = 4 + s
• 2 = 1 + s
• 1 - t = -s

⇒ t = s = 1

⇒ t = 2, s = 1

Il punto su r con t = 2 è (5, 2, -1)

Il punto su r con s = 1 è (5, 2, -1)

M ∩ M' = (5, 2, -1)

ES 2

Siano

• M: { x = t, y = 4 - 2t, z = -1, t ∈ R }
• M': { x = 0, y = 1 + s, z = 1 + 2s, s ∈ R }

Stessa richiesta di ES. 1

SOLU

Cerchiamo s, t ∈ R

• { t = 0, 2t = 1 + s, 1 - t = 1 + 2s }
• ⇒ { t = 0, s = -1, s = 0 } INCOMPATIBILE

• M ∩ M' = ∅

OSS

• p. dir. di M sono (1, 2, -1)
• p. dir. di M' sono (0, 1, 2)
• M, M' non sono parallele e nemmeno si intersecano

Def

Rette nello spazio non parallele e che non si intersecano si dicono SGHEMBE

Due rette nello spazio possono essere:

• coincidenti
• parallele
• disgiunte
• incidenti in un punto
• complenari
• sghembe
• non complenari

Equazione Cartesiana di un Piano

• Siano P₁=(x₁, y₁, z₁), P₂=(x₂, y₂, z₂), P₃=(x₃, y₃, z₃), P₄=(x₄, y₄, z₄)
• P₁, P₂, P₃, P₄ complanari se solo se lo sono i vettori
• P₂-P₁ ∈ V₀
• P₃-P₁ ∈ V₀
• P₄-P₁ ∈ V₀
• Le loro coordinate sono L.D.

• P₂-P₁=(x₂-x₁, y₂-y₁, z₂-z₁)
• P₃-P₁=(x₃-x₁, y₃-y₁, z₃-z₁)
• P₄-P₁=(x₄-x₁, y₄-y₁, z₄-z₁)

1. det(
   • x₂-x₁, y₂-y₁, z₂-z₁ coord. di P₁P₂
   • x₃-x₁, y₃-y₁, z₃-z₂ coord. di P₁P₃
   • x₄-x₁, y₄-y₁, z₄-z₁ coord. di P₁P₄
   )=0

Esercizio

Scrivere le condizioni di allineamento di 3 punti nello spazio.

PROPOSIZIONE

a) Un piano _π dello spazio ha equazione

ax + by + cz + d = 0

cioe' _π: {(x, y, z): ax + by + cz + d = 0}

b) L' eq. del piano per P₁ =(x₁, y₁, z₁), P₂ =(x₂, y₂, z₂), P₃ =(x₃, y₃, z₃)

non allineati e'

det | x-x₁ y-y₁ z-z₁ |

| x₂-x₁ y₂-y₁ z₂-z₁ | = 0

| x₃-x₁ y₃-y₁ z₃-z₁ |

Esempio

Trovare il piano per A=(1, 2, 1), B=(0,1,1), C=(1,0,1)

AC = C-A = (0, -2, 0) non sono allineati

Modo 1

P=(x, y, z)

AP = P-A = (x-1, y-2, z-1)

P è su _π sse

det | -1 1 0 | = 0 ⇔ (z-1) λ=0 ⇔ z-1=0

    | x-1 y-2 z-1 |    | 0 -2 0 |

Modo 2

Il piano ha eq. ax+by+cz+d=0Dobbiamo determinare a,b,c,d

• Imponiamo A,B,C appartenegano al piano
  • a+2b+c=0
  • b+c+d=0
  • a+c+d=0
  PASSAGGIO per A=(1,2,1)" " B=(0,1,1)" " C=(1,0,1)

Si risolve [...]a=0, b=0, c=t, d=-t, t∈R (∞¹ sol.)

t/2-t=0t=1

Esercizio

Trovare il piano π per

• r:x=3+ty=2z=-1-t, t∈R e per

• r':x=4+ty=1+tz=-t, t∈R

Soluzione

• M-M'=(5,2,-1) e quindi esiste un unico pianoπ per M ed M'
• π passa per P₀=(5,2,-1) P₌(x_l,y_l,z_l)
• P₁=(3,2,1) su r (es. t=-3)
• P₂=(4,1,0) su r' (es. t=0)

• P₀P₁ = (-2, 0, 2)
• P₀P₂ = (-1,1,1)
• P₀P = (X - 5, Y - 2, Z + 1)

det -202 -111 X - 5Y - 2Z + 1 = 0

↔ -2 (-Z - 4 + Z) + 2 (Y + Z + X - 5) = 0

↔ 2X + 2Z - 8 = 0 ↔ X + Z - 4 = 0

OSS

• d = 0, piano per l'origine
• Che succede se a = 0, d = 0? IL PIANO CONTIENE L'ASSE x ⇒ contiene tutti pti asse x
• b = 0, d = 0? IL PIANO CONTIENE L'ASSE y ⇒ contiene tutti pti asse y
• c = 0, d = 0? IL PIANO CONTIENE L'ASSE z ⇒ contiene tutti pti asse z
• cosa sono i piani di eq.:
• X = 0? piano yz
• Y = 0? piano xz
• Z = 0? piano xy

POSIZIONI RECIPROCHE DI PIANI!

Def.

Due piani si dicono paralleli se

• non hanno punti in comune (non coincidono)
• sono coincidenti