Appunti lezione Algebra lineare - parte 3

Coeffic in

una X Xn :

,

, ...,

. S b1

an1x1 912X2 annXn

+... +

+ = ba

A21xe 922X2 Aan Xn

+ +... + =

· !

i i

Dm

AmnXn

am2X2

X1 +

+ +....

m =

(2) bm

Sist 0

Il b

lineare omogeneo

dice b1

si se =

=

= =...

.

(3) è Righe

matrice disposti

reali e

(reale

una numeri in

griglia di

una m

man ,

(5) è matrice 3

esempio

per

colonne 2

una

.

n +

: Mman(R)

L'insieme matrici si

ditutte denota

le ma n

Dato un sistema lineare come sopra, a questo sistema associamo le seguenti matrici:

(4) (

· incompleta

matrice

La a (IR)

EMm n

,

( C

D Mm

· La dei

colonna noti

termini = D1

=

a (IR)

(AIDl Dz EMm

La

· matrice completa n + 1

,

am

Notazione: è

Un modo per scrivere il sistema lineare associato alla matrice completa ( A | b ), con (IRI

Mmin

AE

=

112 Ann X1

an ... F

X2 Può

Attenzione ha essere

righe

dan !

921922 : n

in

....

::: = incognite

n n di

m

Amn

ama num

am =

n -

m equazioni

di

num

=

avanti

più significa esattamente

scrittura

vedremo questa

che :

S Da

G12x2 anXn

an1x1 +

+

+ =

...

92X danXn b2

922X2 +

+...

+ =

! Dm

Xn

amX1 amzX2 Amn

+

+ =

+...

=

scriviamo incognite

delle

se 1 colonna A

Teorema di Rouchè-Capelli: colonna/e

IRh Irm

AE n(IR)

Ax D

Dato de

Sistema Vettori

lineare Mm

con E

un X

= , , ,

() incognite) re(alb) rg(A)

soluzione solo .

se

ammette

esso se

le

sono e

X = =

, Cioè se rango matrice completa = rango matrice incompleta

In caso di uguaglianza, una soluzione generale del sistema lineare sarà data da una soluzione particolare del

sistema lineare, più la soluzione generale del sistema omogeneo associato:

SA Said

KeRA

V dove VE

b +

= ,

, dim/KerAl

Inoltre A

g

n-

=

dilR"

Sab è è

Sottosp b Ossid omogeneo

Orm sist

un se il

se solo

e =

. .

,

Definizione matrice a gradini:

Diciamo che una matrice A c Mm,n (R) è a GRADINI se per ogni riga il primo elementi non nullo è più a

destra del primo elemento non nullo sulla riga

Se

d

" +O 0

An

Se 921 An1

es

p allora 931 Ama

= =...

= =

=

.

. 123 O Allora

Seconda 0

0 =

RIGa Amz

se

per 932

la 0 =

azz Am3

933

e e =

43

42 =

=... = = =

=

, ...

(nell'esempio

del chiamati

I

Gradino

elementi in corrispondenza

Gli A23 sono

Altri

An e

, ...

,

"PIVOT" . matrice(alb) gradini Chell'

Pivot

corrispondenti

variabili ad

sistema a

Le del un

con

) Pivot"

esempio "variabili

sono

Xe X3 ....

,

Teorema di riduzione di Gauss:

Ogni motrice può essere ridotta in forma scala tramite operazioni elementari nelle righe . Tale metodo di riduzione

si chiama metodo di riduzione di gauss.

SETTIMANA 7 (scheda 7 esercizi)

Proposizione applicazione lineare: 4

4 W +Z

V IR-SD

Z V W

Siano Siano

W degli Vettoriali due applicat

e

, e : - :

, , . 404

4 4/9(21)

(2)

lineari 40 definita

+Z da

Allora l'applicaz V

Composia : =

,

.

.

e lineare

un'appl .

.

DiMOSTRAZIONE : [V Un] SW1 wmy

V

basi W

di

delle W

Fissiamo v e

di

= = ,

, ,

. ..

. . .

. .,

.

2 [2 zp] 4

Z 1 Rispetto

A la

Chiamiamo

di matrice associata

e

= a

=

, - y

v w

....

, i ,

W WeZ

V Y

B

basi Associata basi

Alle

la

B

alle RISP

matr a

e = o .

, z

W .

, Z

I No Y

Av V

la basi

Matr

C Associata alle

Rispetto e

e a .

= poy

z .

, , (Dij)

(IR)

(ajn) EM SIR)

A M

B

abbiamo

particolare

in E

= = m

p

min .

(Ciu) n(IR)

e c EMp Dj

j mk i

1 1

....,

= 1 m

1

n =

= =

= ..... ....,

....,

,

i 1 Dk 1 n

= =

...., ....,

Proposizione: ( bij

(Dir Dim)

Cin biz .

= ....

,

Dimostrazione : = Z

AV

Poiché Ci (PoY)(k) Cinzi sono

le Coord

cui in

Vettore

allora

= PoY

Z

, , Ci

k-esima di

la colonna

(wbij

=

PC ajkwj)

P(4(5))

(PoY)(n)

abbiamo

Ma =

=

=

Dm bijjk)

AjkZi

bij

I i 1j 1

= = m #

Dij

Quindi [ik =

Definizione prodotto righe per colonne: "PRODUTTO

m/IR)

Mp

Matrici A il

Date n(ir)

Mm definisce RiGhe

BE si

2 E

e Der

,

, Cik

(Crikl

colonne" Mpin CIR) B

la

A

B bij

A

Matrice

E dove

n dove

Ajk

1 p

=

. .

I ,

.....,

1

.....,

k n

=

(Bij) (jk)

B j

i BeA

1 1

= m

=

= =

...., ..... M

j 1

, ...,

1

....., k

m =

=