U
Usiamo PER SONOSP
W
il Stabilire
CriT di
SONOSP
di un
Che +
. . .
. UEU l'e U
EU Opportuni
avra
si
W e l'
Siano eWeW
per
V
' Opportuni e
V vi Per
wi
V W
U
+ + +
= =
, ,
(w
(u
WIEW wi)
Dunque Vi)
wi
V + u
1 w +
u +
+
+ =
+ +
= .
. è
(u
U.EU U Cioè
Ma Utw chiuso
dunque wil per
(w W
Wtw'EW appartiene
w a
4)
u +
V
e +
+ +
+ =
+ ,
,
la somma .
MEIR U UEUewEW
Si 1(n
allora w)
Ma Bu
Sia Edunque
avrà
W V Opportuni
per
e UtW
ve + +
= = =
.
. 14EU è
1wEW
dato Cioè scalare
il
Per
e Chiuso Per
che
1w W Prod
EU uno
U
w
lu + +
+
= . . .
e
U V
w quindi solosp di
un
+ . . Vew
V U
Scontiene
Inoltre allora
s e anche
di Contenuto W
.
sottosp in
se un +
,
.
U
Infatti ES
Per
W Opportuni dato
weW dunque che
e
UEUe
V
Se ve v
U
+ U
W w
+
+
= =
,
, FUEV W WES
VeU Ves
è U
Ossia
Wes Dunque Ossia
U chiuso Risp somma
Alla . =
+ +
, ,
. , .
We W#
V
è
U W più piccolo di
sonosp
il sonienente
+ .
DEFINIZIONE DI LINEARMENTE INDIPENDENTE:
Sia V uno spazio vettoriale su R, e {v1,…, vk} un insieme finito di vettori V. Si dice che {v1,…,vk} è LINEARMENTE
INDIPENDENTE se l’unica combinazione lineare che dia il vettore nullo 0v è la combinazione lineare nulla
Ov Ossia EIR
OUk+ EIR
0v
OVetOWat 22 0 Si
1k
Meve + de 12
nWk =
+...
+
= + = =
=
= =... .
....
• se esiste una combinazione lineare NON NULLA dei vettori v1,…,vk che dia il vettore nullo, i vettori v1,…,vk si
diranno “linearmente dipendenti”
Proposizione:
In un R-spazio vettoriale V, un insieme finito di vettori {v1,..,vk} è linearmente indipendente se e solo se ogni
combinazione lineare dei vettori v1,..vk si scrive in modo unico.
d'kVkT
li
Ossia 12 12
Uk Va
Se +M > bk 1k
11
1121T 12
+
=
: +.... = = = =
....,
.... ,
Dimostrazione :
Dimostriamo che v1,…,vk sono linearmente dipendenti se e solo se esiste un vettore che si può ottenere come 2
combinazioni lineari diverse v1,..,vk:
• se v1,..,vk sono linearmente dipendenti allora il vettore nullo 0v si scrive come più comb. lin. (quella nulla e
un’altra)
• Supponiamo che esistano due combinazioni lineari diverse che danno lo stesso vettore:
in
1252
1202 liV1
1kWx
1252 Uk
+
+
+... +
+ +
= ... (lk Ov
lk)Vk
(12
na 12
-1'i)V2
(11 (22
si
allora +... +
: + =
-
-
poiché Ma, Ik
tutti
scalari
gli
e 11 uguali scalari
sono Gli
Ik agli allora
non ,
, ..., ...,
(11-d'il (dr-ir) abbiamo
Ossia
Tutti lin
sono
scalari nulli comb
una
non non
,
...., .
.
V
quindi
da Linear
Sono
nulla Dipendenti
Un
che il Nullo
vert , #
1,...,
. .
DEFINIZIONE DI BASE: Uk]
[Uz
Sia . Un vettori base
di
insieme
r-spazio di
Vettoriale finito
V un una
V si dice
....,
V
di Se : [Uz Un] è
(2) Generatori Vi
insieme di
di
un
...,
,
[Vz Uk] è Indipendenti
(2) di vettori
insieme linearm
un
..., .
,
SETTIMANA 3 (foglio di esercizi 3)
Proposizione 1: Un]
[Vz V
di R-spazio Vettori
Sia i
insieme Se
Generatori di
I un Va
Vett
un Uk
= ,
..., .
, ....
.
di
dipendenti Generatori
di
proprio
sottoinsieme
linearmente I di
sono esiste V.
un
Proposizione 1:
Dimostrazione : è dei
lin
comb
che Vettori
U
se
Osserviamo Un allora
Ul
una
1141 In Un
12 42 +... +
= + . . ...,
, enUn)
B(1252
Un)
<Ve infatti
= dava d202 Bu 2102
dkWk 2kVk
4)
22 Uk +
+
+ +
+... + +... =
+...
+ =
,
....,
...,
, ,
(2 (2k B(k)
B12)52 Uk
+
+... +
+
= 7
dipendenti t
tutti
allora nulli
i lin
sono
se Vettori la non
Wa C
.
Un 11 .
, ..., ....,
.
0 che
1121 Supponiamo 1Vk
-12V1-
lato In Un
1kUk allora Ik
+... 1
+ =
= - - -
...
( f ... f
-
= un combin di Se
wa +
= .
UK-2#
V <Ve
Quindi <U1 Ur) =
,
: = ..., .
.
, .,
.
Proposizione 2: Proposiz
. 2)
di
Cviceversa
[Wz Enz Vettoriale
Generatori
I i
Se
IR-spazio
insieme
Sia di
di vettori
un
un
= .
...,
, V.
proprio Genera
di I non
sonoinsieme
Indipend qualsiasi
sono linear.
Uk
Ve ..., .,
,
Proposizione 2: supponiamo V
proprio
sottoinsieme Generi Per
Dimostrazione che
Viceversa un
: ,
è
esempio lin Altri
comb
V degli
Uk
Allora
<Va WK
UK-1 1201 10k
2k
= +.... +
= 2
- -
.
,
...., .
è
Quindi il
che
comb
(115k
lin nulla
Lin da
la 0
Comb 111t non
1kWk-1
... + + =
. .
. #
nullo
vertore .
Proposizione 3:
[Ve V.
Un3 Sia
Sia vettori Indip V
IR-Spazio
insieme lin UE
di di Vettoriale
un
un .
.
...,
, .
Un]
(U è l
L'insieme Se
lin Indip solo se .
e V2 UK)
V .
...., . ...,
,
,
Proposizione 3:
Dimostrazione :
Un}
[We lin indip
Sia ..., .
, . Quindi
Un 0
1202 2)u
sopra
come (
le
se U
allora 1kUk
1kUk
11 V1
V1 +
+.... +
+
+... =
=
, ...,
,
Un}
[U è dipend
= lin
V
.. ..., .
, [u Un
Un] E
dimostrato indip
Quindi abbiamo lin .
2 2
.
,
, ....,
....
[u
( Un
) è
mostriamo che UK)
se allora
Dipendente (Vz
lin
V ve
= : :
,
i . ...,
..., ,
di dip
rel [U
abbiamo lineare 0
In Un
una 12 Ve +...
+ + =
. Poiché
0
abbiamo
se anche Ve
11 v1
0
d sono
1kUk
1202 Un
ma
+... +
+ =
= ...,
,
è
INDIP
lin ipotesi possibile
anche
Per 0
, .
e non
allora 12
11 1k
=... =
= =
.
. (-3(ve ( E)va (*)uke Sa#
Quindi 0
, allora
d u
ma (2
+ +
+
= + . . . . ,
...
Corollario 1:
V seguenti
Sia BCV
Sia Allora
insieme vettori
finito
Un sono
di
Sp le
Vert
uno .
. .,
equivalenti :
è
(i) B base di V
una
è
B
Cii) insieme minimale
generatore
un
è
B massimale
indip
(iii) insieme lin
un . .
Corollario 1:
Dimostrazione :
Se B è base è ins. generatore, e poiché è indipendente allora è minimale per proposizione 2.
(i) (ii)
)
=
(ii) (i) Se B è generatore ed è minimale allora non esiste un ins. generatore più piccolo, quindi è indipendente
= per Prop 1.
(i) Se B è base è lin. indipendente, ed è massimale perché non esistono vettori
>(iii) V 3)
(PROP
(B)
= .
(i)
(iii) quindi
Se B è indipendente e massimale allora per proposizione 3 non esiste ~
VEV
> BL
con
= ,
B è Generatore
Teorema 1 “LEMMA DELLO SCAMBIO”:
In un R-spazio vettoriale V, sia I = {v,…,vk} un insieme di vettori linearmente indipendente. E sia G = {w,..,wp} un
insieme di generatori di V.
Allora si ha k < p, ossia la cardinalità di un insieme generatore è sempre maggiore o uguale alla cardinalità di un
insieme linearmente indipendente veit]
(num
"Lemma scambio"
Dimostrazione dello wp]
(Uz wa] SWe
I G
lin indip generatori
=
= .
..., .
, , .,
. .
Dobbiamo che KIP .
Vedere
far sia
l'insieme
Scambiamo che generatore
ancora
in modo
i ottenuto
vettori Vi con Wi
alcuni :
, da
quindi
V V1
genera &P
daw1 Spwp EIR
G con
+
+....
= ...,
, , .
Supponiamo def0
di nulli.
Nato tutti allora
sono
Siccome Gli non ,
( -
(
= )w
E(wz
we Vz +
= +...
- +
22
Quindi V
=
Cosservazione sopral Wp
Wa
VI Wa
= W
Wa Wa Va
, .... ,
, ..., , ,
,
[Ue wp] è
cioè ins Generatore .
Wa .
...,
,
, Birn Bp
BiEl
BpWp Ba
Ba
Riperiamo BzW2 gli
22 ScalaRi
Vz
con con
+
: +... +
= , , ...,
, , lin
essere Sarebbero
Bir
altrimenti
nulli
tutti e Vi
Uz
possono 22
avremmo
non .
= +
, ,
dip . = (w
Bato abbiamo
supponiamo prima wa
come
, V
> WpL
Va < Va
<Ve Wa
Sopra Wa
come Ve
Wa Wp =
, = ,
, ...,
,
..., ,
, ,
possiamo sostituire
continuando con
ogni tale che
in
così modo
un
Vi luj #
l'insieme essere
Quindi per
Rimanga deve
Generatore , pk
forza
Corollario 2:
Tutte le basi si uno spazio vettoriale V (finitamente generato) hanno la stessa cardinalità
Definizione di DIMENSIONE:
Sia V un R-spazio vettoriale FINITAMENTE GENERATO, il numero di vettori presente in una base si chiama
dimensione di V, e si denota con: p
dim ,
Teorema 2:
Sia V un R-spazio vettoriale finitamente generato. Allora:
(1) Ogni insieme linearmente indipendente si può completare ad una base [TM COMPIeT I
.
.
(2) Ogni insieme generatore contiene almeno una base
Dimostrazione :
Sia G un insieme
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