Appunti integrali definiti

TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE

FUNZIONE INTEGRALE (

Sia f una funzione continua nell’intervallo [a; b]. Consideriamo un punto qualsiasi x di [a; b]. F(x) =

- Non scrivo

X perché -

(a

è già

quello sull'

è

verde (t)at

F(a) 0

=

=

la derivata estremo

di quello Sup

rosso . /

f(t)at

(b)

F =

TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE

Permette di collegare il concetto di integrale definito e quello di integrale indefinito attraverso la funzione

Se una funzione f(x) è continua in [a; b], allora esiste la derivata della sua funzione integrale

(

f(t)at

F(x) =

per ogni punto x dell'intervallo [a; b] ed è uguale a f(x), cioè:

F'(x) Ovvero F(x) è una particolare primitiva di f(x)

f(x)

= (f(x)ax (f(t)at

—> una funzione continua in [a; b] ammette come primitiva fondamentale la

funzione integrale F(x), con x variabile nell'intervallo [a; b]. Pertanto, l'integrale c

+

=

indefinito di f, inteso come la totalità delle sue primitive, si esprime come:

CALCOLO DELL’INTEGRALE DEFINITO

Se phi è una primitiva qualunque di f(x) nell’intervallo [a,b] allora:

Esempio:

(xax W

(y(x)) x

y(a)y

y() 3x

+

=

=

= - ↓

[0 3]

; (x

Qualunque (x E

(3x

4(x) 2x

3x +

+ =

=

=

Primitiva +

Sf(x)ax

=> ((x 4 4

A y(3) y(0)

3xax

= 0

+ = =

= -

-

CAMBIO ESTR : =

(1g(1)ax 40(0)

2

e(31 9 0

+

= =

=

g(a)

CALCOLO DELLE AREE

1) Area compresa tra una curva e l’asse X

(f(x)ax [xax

oppure + 2(lf(x)lax

Area =

3) area compresa tra una curva e l’asse y

2) area compresa tra due curve y f(x)

= + (y)

f

x = (

A )ay

=

anche

vale

> se funz neg

.

CALCOLO DEI VOLUMI

Rotazione intorno all’asse X ( +(x)]ax

V t

= .

2 1]

[0

esempio 2

y 2x

: x +

= :

-

((x ( xy

2(E)((x2 2) 4x3 4x2

4xa

V 8x

4

2x

= +

+

2x +

+ + = -

- -

- Sx4 8

= x 4x

4x3

0x 8x

+ u

+ =

- +

- -

-

+ 4X =

8 8

E =

-x 4x] E

ux y]

-

+ + u +

+ - -

Volume del cono Fx

B y

3

= =

) x) Ern

V ax =

= -

Volume sfera Ea Semicirc y r2 xz

= = -

. .

m(\r tr

x ) -

V ax

= =

-

Rotazione intorno all’asse Y

i) (17-ay

f(y)v (

+

x = = 2

Metodo dei gusci cilindrici v f(x)ax

> =

E E x

esempio 2x

y

V x 2

0x

X

: 0

0 +

= =

= 0x

- =

=

- =

- X2 [0

x(x 2) 2]

2x 0

0

= = i

-

-

Si *]

2(jx(x [E

E 4

z

E) 2

v =

= = = =

.

- -

-

Volume di un solido con metodo delle sezioni ba

lungh

1 1

x parte

= =

.

S(x) Esprime l’area della generica sezione del solito al variare di

x, in modo simile a quello visto per i solidi di rotazione

possiamo definire il volume V del solido T

SS(x)ax

v =

Esempio : 3]

[0

x2

U 3x

+ ;

= - A

V le Sono piani

cui

e

dei 1

solido sez

base

come x

che na a

.

sono

e quadrate 3x)2

x2

1 -

Sezione

Area +

=

(3) 8

3x)-

x dx

v +

= =

-

Esempio 2 : Ya ·

6

2

3x

Area Sez 2

2

X .

= -

-

(X 2)3 6

3x

=

- -

(3x 6x7

(3) 24

v cax

= =

- -

INTEGRALI IMPROPRI

Integrale di una funzione con un numero finito di punti di discontinuità in [a; b]

HO :

· • funzione f(x) continua in tutti i punti dell’intervallo [a; b[ ma non in b

• Considero un punto z all’interno di [a;b[ ==> la funzione è continua in [a;z] è quindi

esiste l’integrale: (xax = Cai

f(x)ax

F(z)

= in

definita

(x)axim

(a +

ESISTE f(X) è integrabile in senso improprio

= (xax

·

F(z)

lim

z - Integrale è detto IMPROPRIO e CONVERGENTE

+ NON ESISTE L’integrale non è integrabile in senso proprio o DIVERGENTE

ON x Z

Esempio [ -

(2xdx

: Z

3

1 F(z)

(207 = 3

f(x) t

= =

= I

3 2

X2

S -

3 2

-

ar=a

~ - x5 32)

[37

33x

3 +

=

=

.

( 3

332

32)

(33z =

e integr

)

lim insenso imp

= =

=

+ .

2 -

- 0 X2

no

invece

se :

·

• f(x) continua in tutti i punti ma non in a ]a; b] -

-

(

F(z) (x)ax

=

- S

(xax

La funzione è integrabile in senso improprio

ESISTE f(x

lim

( a

:

= = at

2 ->

F(z)

lim

- at

7 -

Se la funzione a un punto di discontinuità di qualunque specie in un punto C nell’intervallo [a;b]:

Sex e) (ax

(

Può essere definito, in senso improprio, come la somma degli integrali:

ax (x)ax

=

A

1(x)ax lim(x)axim

Se tali integrali esistono, in base alle condizioni precedenti: = ♾

♾

Integrale di una funzione in un intervallo illimitato

HO :

• f(x) continua in [a; + [ (a

• Scelgo in punto z all’interno di [a; + esiste l’integrale: f(x)ax

[ ==>

(f(x)ax (ai

F(z) 0)

· = +

Il (Maxim

V ESISTE Funzione è integrabile in senso improprio in [a; + [ =

:

F(z)/ convergente

lim Si dice che l’integrale è

2 - + D INFINITO DIVERGENTE

>

= La funzione non è integrabile in senso improprio

>

-

INDETERMINATO

ESISTE

NON =

In analogo

modo :

9]

f(x)] 0 ;

· -

(f(x)ax

lim

· C - 0z

- (fax I

↓ e i x

=

int in s im

esiste ax

c

se =

.

.

Esempio : )

22 (ci Tax

[F(z)

f(x) + 0 =

=

Limax= E 1

1

+ =

-

5

= =

(E [ E

= *

=

= -

= - +

(exax

= 1

=