Appunti rielaborati

INTERVALLI

DELLA RETTA REALE

• Un intervallo è un sottoinsieme di numeri reali che corrisponde a una \ sezione (intervallo limitato) o una semi-retta \ (intervallo illimitato) della retta reale.
• Un intervallo può essere chiuso o aperto a seconda \ che gli estremi appartengono o meno all'insieme considerato.

INTERVALLI LIMITATI

Detti due punti a e b:

• [a; b] ➔ a ≤ x ≤ b
• [a; b[ ➔ a ≤ x < b
• ]a; b] ➔ a < x ≤ b
• ]a; b[ ➔ a < x < b

INTERVALLI ILLIMITATI

Dato un punto c:

• [-∞; c[ ➔ x < c
• ]b; +∞] ➔ x > c
• ]c; +∞[ ➔ x > c
• ]a; +∞[ ➔ x > c

INTORNO COMPLETO

Dato un numero reale x₀ esiste un intorno completo di x₀ di un \ qualsiasi raggio r > 0, contenente x₀.

I(x₀, x) = ]x₀ - x; x₀ + r[

con Si ₀ > 0, x₀ > r > 0.

INTORNO CIRCOLARE

Dato un numero reale x₀, esiste un intorno circolare di x₀ di un \ qualsiasi raggio δ, contenente x₀.

I_e(x₀) = ]x₀ - x; x₀ + x[

con x > 0.

• L'insieme dei numeri reali x tali che 0 < |x - x₀| < e: sono ancora degli \ intorni di x₀.
• Intorno destro di x₀: intervallo I^d(x) = ]x₀; \ x₀ + e[
• Intorno sinistro di x₀: intervallo I^s(x) = ]x - e; \ x[

INTORNI DI INFINITO

Detti b e c con b > 0, definiamo:

• Intorno di meno infinito di b: esiste un intorno detto illimitato \ superiormente, tale che: I = ]c - b; c] = {x ∈ R | x ≤ b} σ
• Intorno di più infinito punto b: esiste un intorno detto illimitato \ superiormente:I = ]c - b; c] = { x ∈ R | x > b }
• Intorno di infinito ➔ Sobquadro i mezzi, ammette un solo \ intorno di x^∞:

I(∞) = [-∞ ; 0[ ∪[0 ; ∞[ = { x ∈ R | x < ∞ ∨ x > b }

Insiemi limitati ed illimitati

Un insieme numerico I ⊆ ℝ è detto

• superiormente limitato: se esiste un numero reale m, in maniera tale che: ∀x ⊆ I → x ≤ m, ed m si dice I si dice un maggiorante
• inferiormente limitato: se esiste un numero reale m, in maniera tale che: ∀x ⊆ I → m ≤ x, ed m, si dice un minorante
• illimitato superiormente: se, scelto ad arbitrio un numero reale m, ∀x ⊆ I si ha: x ≥ m

Gli estremi di un insieme

Estremo superiore di un insieme: dato un insieme E ⊆ ℝ superiormente limitato si dice estremo superiore di E quel numero reale S tale che:

• S = ^infE e tale che ∀ε 0 ∴ [/1, x], x ⊆ E → x ∈ [/2= (1+ε)]si pone sup(E) = max (E)

Essi si dicono anche limite superiore o inferiore dell'insieme.

Punto isolato: si dice un numero reale x₀ isolato appartenente ad un insieme A ⊆ ℝ se non esistono altri elementi di A in un intorno di [/1=]0, macchina lim 1

Limite per x → x₀

sei afferma che ∀ε > 0 ∧δ > 0

• ∀ x ⊆ &reasl; (x ⊆ ℝ - {2+0.} ⇒ fix(i+i) 12 ≤ 1 → (2,3&epsilrad;)liste[(,si&ccr(nestiscom&lepn; ∩ ∀if ([/12x = 1) ≤ 1,

Limite finito per x che tende a x₀

Lim_{x→x0f(x) = l è essun numero reale tale per cui si assume meno dell’ossono un altro numero intercptr controllato da questo}

• x ⊆ (-δ &0,