Appunti rielaborati

La retta reale

Esiste una corrispondenza biunivoca tra l'insieme dei numeri reali R e i punti di una retta orientata, detta retta reale.

Gli intervalli

Un intervallo è un sottoinsieme di numeri reali che corrisponde a una particolare sottoinsieme illimitato o a un segmento limitato della retta reale. Un intervallo può essere chiuso o aperto a seconda che gli estremi appartengano o meno all'intervallo considerato.

Intervalli limitati

Dati due punti a e b:

• [a, b] → a ≤ x ≤ b
• ]a, b[ → a < x < b
• [a, b[ → a ≤ x < b
• ]a, b] → a < x ≤ b

Intervalli illimitati

Dato un punto a:

• ]a, +∞[ → x > a
• [a, +∞[ → x ≥ a
• ]–∞, a[ → x < a
• ]–∞, a] → x ≤ a

Gli intorni di un punto

Intorno completo

Dato un numero reale x₀, si chiama intorno completo di x₀ un qualunque intervallo I(x₀) = ]x₀ – δ, x₀ + δ[ contenente x₀, con δ > 0.

Nota: Si x₀ &pm; δ si mantiene δ scalare positivo.

Intorno circolare

Dato un numero reale x₀, un numero reale r > 0, si chiama intorno circolare I_δ(x₀) = ]x₀ – δ, x₀ + δ[ = {x ∈ R : |x – x₀| < δ}.

L'intersezione di tutti gli intorni di x₀ è il punto stesso. Tuttavia, esistono ancora degli intorni di un punto x₀.

Intorno destro

Un intorno I_δ(x₀) = ]x₀, x₀ + δ[, si chiama intorno destro di x₀ su intervallo Iδ(x₀) = ]x₀, x₀ + δ[.

Intorno sinistro

Intorno I&sub>δ(x₀) = ]x₀ – δ, x₀[.

Gli intorni all'infinito

Dati b ∈ R cercando infinito inferiore e b ← dert d.

Intorno di meno infinito

Un qualunque intervallo oggetto dell'intero rappresentazione:

I(–∞) = ]–∞, b[ = {x ∈ R, x < b}

Intorno di più infinito

Un qualunque intervallo dell'esso contenente:

I(+∞) = ]b, +∞[ = {x ∈ R, x > b}

Intorno infinito

Si chiama I(+∞) = {x ∈ R, x ≥ b}

I(–∞) = ]–∞, x > c[

Per b X≥, ∑ x ∈ R I < x, X ≥ b.

Gli insiemi delle misure

Esiste una corrispondenza biunivoca tra l'insieme dei numeri reali R e i punti di una retta orientata, detta retta reale.

Gli intervalli

Un intervallo è un sottoinsieme di numeri reali che corrisponde a una qualsiasi parte non vuota e limitata di un segmento (immaginario) illimitato della suddetta retta. Un intervallo può essere chiuso o aperto a seconda che gli estremi appartengano o meno all'intervallo considerato.

Intervalli Limitati

Detti due punti a e b:

• [a;b] → a ≤ x ≤ b
• ]a;b] → a < x ≤ b
• [a;b[ → a ≤ x < b
• ]a;b[ → a < x < b

Intervalli Illimitati

Dato un punto a:

• [a;+∞[ → x ≥ a
• ]a;+∞[ → x > a
• ]–∞;a] → x ≤ a
• ]–∞;a[ → x < a

Intorni di un punto

Intorno completo

Dato un numero reale x₀, si chiama intorno completo di x₀ un qualunque intervallo I(x₀) contenente x₀.

I(x₀) = ]x₀ - δ ; x₀ + δ[, con δ > 0, si chiama raggio dell'intorno.

Intorno circolare

Dato un numero reale x₀ e un numero reale δ, si chiama intorno circolare l'intervallo aperto Iδ(x₀) di x₀ di raggio δ.

Iδ(x₀) = ]x₀ - δ; x₀ + δ[

L'intersezione tra un intorno completo e un altro insieme di questo tipo dà un intorno di x₀.

Intorno destro

Intorno destro di un punto x₀ è un intervallo I⁺(x₀) = ]x₀; x₀ + δ[.

Intorno sinistro

Intorno sinistro di un punto x₀ è un intervallo I^-(x₀) = ]x₀ - δ; x₀[.

Intorni all'infinito

Detti a, b ∈ R, con a ≤ b, definiamo:

Intorno di meno infinito

Intorno di meno infinito è un qualsiasi intervallo aperto illimitato superiormente.

I(-∞) = ]-∞; b[ ; I= ]-∞; b] I(-∞) ≡ ]x ∈ R, [x < b]

Intorno di più infinito

Intorno di più infinito è un qualsiasi intervallo aperto illimitato superiormente.

I(+∞) = ]a; +∞[ ; I = ]a; +∞ }I(+∞) ≡ ]x ∈ R, [x > a]

Intorno di infinito

Nome intorno infinito è l'unione tra un intorno di +∞ e un intorno di -∞.

I(∞) = I(-∞) ∪ I(+∞) ≡ ]x ∈ R | x < a ∨ x > b

Gli insiemi limitati e illimitati

Un insieme numerico \(E \subseteq \mathbb{R}\) è detto:

• superiormente limitato: se esiste e determinato almeno un numero reale \(M\) non necessariamente inferiore agli elementi di E.