Appunti Geometria II - Topologia

Questi appunti di Geometria II offrono uno schema completo di Topologia generale e algebrica: dagli spazi metrici e assiomi di separazione/numerabilità, fino a connessione, compattezza, …

Esame Geometria II

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. Podestà Fabio

Università Università degli Studi di Firenze

Publisher chiara..g

A.A. 2022-2023

38 pagine

Schemi e mappe concettuali

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Estratto del documento

PROPRIETA che passano ai SOTTOSPAZI dagli SPAZI

- T1

- T2

- T3

- (Sottospazi CHIUSI) T4

- 1-numerabile

- 2-numerabile

- Compattezza (sottospazi chiusi)

- TL

- Separabile NO!!

PROPRIETA APPLICAZIONI CONTINUE f: X —> Y

- l’applicazione f: x |—> d(x,F) con F X è continua

⊆

RICOPRIMENTO APERTO O CHIUSO(ma FINITO)

- f: X—> Y è continua <=> fi: Ci —> Y sono continue

PRODOTTO

- f: Z—> X è continua <=> gi: Z —> Xi sono continue

COMPATTEZZA

- Se X è compatto => f(X) è compatto

- Se f: [a,b] —> R continua => Imm(f) è un intervallo

- Se f: X —> R con X compatto => esiste xo = max {f(x)}

CONNESSIONE

- Se X è connesso => f(X) è connesso

- Se f: [a,b] —> R continua => Imm(f) è un intervallo

- Se X è compatto e Y è T2 => f è chiusa

- Se f,g : X —> Y continue con Y T2 => Z = insieme di coincidenza è chiuso in X

- SE f: X —> Y continua con Y T2 => il grafico è chiuso nel prodotto

INVARIANTI TOPOLOGICHE

- Connessione

- Compattezza

- Separabilità

- 1-numerabile ??

- 2-numerabile

- T1 ??

- T2

- T3

- T4 ??

- Completezza NO!!

1-NUMERABILE

- Tutti gli spazi metrici sono 1-num

- (X,D) ogni spazio con la topologia discreta è 1-num con U (p) = {p}

- (R,C) con la cofinita NON è 1-num

- R NON è 1-num (=> non è metrizzabile)

R

- Sottospazi di spazi 1-num sono 1-numerabili

- Prodotto NUMERABILE di spazi 1-numerabili è 1-num

- Spazi 2-numerabili sono 1-num

- (R,S) è 1-num ma NON 2-num

2-NUMERABILE

- Prodotto finito o numerabile di spazi 2-num è 2-numerabile

- Sottospazi di spazi 2-num sono 2-numerabili

- OSS: Se (X,D) con la topologia discreta è 2-num allora X è numerabile

- Se (X,d) è uno spazio metrico separabile => ha una base numerabile (è

2-num)

- (R,E) è 2-numerabile

- RP è 2-numerabile

SPAZIO SEPARABILE

- (R,E) euclidea è separabile con D = Q

- (R ,E) euclidea è separabile con D = Q.

- (R,C) cofinita è separabile perche C E

⊆

- (R,S) è separabile perché [a, b) Q ≠

∩ ∅

- (X, D) topologia discreta è separabile <=> X è al più numerabile

- Sottospazi di spazi separabili NON sono necessariamente separabili

- Prodotti (finiti e numerabili) di spazi separabili sono separabili

- Prodotti infiniti di spazi separabili sono

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