Appunti Fondamenti di algebra lineare e geometria

Indice

• Funzioni 5
• Campi e matrici 13
  • Campi 13
  • Matrici 16
• Proprietà delle matrici 23
• Il campo complesso 31
• Radici n-esime 39
  • Radici n-esime di un numero complesso 43
• Il teorema fondamentale dell'algebra 47
  • Polinomi a coefficienti reali 47
  • Esercizi 52
• Relazioni d'equivalenza 65
  • Similitudine tra matrici 67
  • Equipollenza tra segmenti orientati 69
• Spazi vettoriali 73
  • Esempi di spazio vettoriale 75
  • Sottospazi 78
• Somma di sottospazi 81
• Dipendenza lineare 87
• Basi di uno spazio vettoriale 93
• Concetto di dimensione 101
• Funzioni lineari 107
  • Ancora su basi e dimensione 107
  • Una base per lo spazio vettoriale dei vettori geometrici 109
  • Funzioni lineari 112
• Il teorema delle dimensioni 117
  • Nucleo di una funzione lineare 117
  • Il teorema delle dimensioni 120
• Esercitazione 127
• Funzioni lineari e matrici 133
  • Matrice di una funzione lineare 133
  • Generalizzazione 137
• Rango di una matrice 141
  • Ancora su funzioni lineari e matrici 141
  • Rango di una matrice 145
  • Varietà lineari 147
• Teoria dei sistemi lineari 151
• Procedimento di eliminazione Gaussiana 159
  • Applicazioni 163
• Esercizi su eliminazione Gaussiana 167
• Forma canonica speciale 179
  • Forma canonica speciale 179
  • Ulteriori esercizi sui numeri complessi 182
• Determinante 187
  • Gruppi di permutazioni 187
  • Nozione di determinante 192
• Proprietà del determinante 195
  • Multilinearità e alternanza 195
  • Complementi algebrici 198
• Autovalori ed autovettori 203
• Il teorema di diagonalizzabilità 211
• Diagonalizzabilità di matrici 219
• Prima esercitazione sulla diagonalizzabilità 227
• Geometria affine 237
• Parallelismo - forme bilineari 247
  • Parallelismo 247
  • Forme bilineari simmetriche 250
• Ortogonalità 255
• Procedimento di Gram-Schmidt 263
  • Matrici ortogonali 269
• Il teorema spettrale 271
  • Applicazioni del teorema spettrale 274
• Seconda esercitazione sulla diagonalizzabilità 281
• Proprietà metriche 287
  • Proiezioni ortogonali 287
  • Distanza e angoli 291
• Esercizi di geometria 297
• Esercitazione riassuntiva 305

Lezione 1: Funzioni

Se α : A → B è una funzione e b ∈ B, cosa s’intende per α({b})?

Insiemi numerici

• {0, 1, 2,…}; insieme dei numeri naturali N
• {…, -2, -1, 0, 1, 2,…}; insieme dei numeri interi Z
• {x | ∃m, n ∈ Z : x = m/n, n ≠ 0}; insieme dei numeri razionali Q
• Insieme dei numeri reali R
• Insieme dei numeri irrazionali R \ Q
• Insieme dei numeri complessi (vedremo in seguito) C

Vale N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C.

Notazioni

Notazioni 1.1. ⊂ {0} {1, 2, 3, …};

Notazioni 1.2. Siano a, b tali che a < b.

• Intervallo chiuso [a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}
• Intervallo aperto ]a, b[ = {x ∈ R | a < x < b}
• Intervallo chiuso a sinistra e aperto a destra [a, b[ = {x ∈ R | a ≤ x < b}
• Intervallo aperto a sinistra e chiuso a destra ]a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}

Definizione

Definizione 1.3. Siano A e B due insiemi. Una funzione (o applicazione) di A in B è individuata da una legge che ad ogni elemento di A associa un ben determinato elemento di B.

Notazione 1.4. α : A → B.

A si dice dominio della funzione α, B si dice codominio di α. La parola "codominio" può avere significato diverso da quello che conoscete.

Osservazione

Osservazione 1.5. Una funzione consiste di tre oggetti: dominio, codominio, legge.

Descrizione di una funzione

Per descrivere una funzione (ad esempio: la funzione di R in R che ad ogni x associa il suo quadrato) abbiamo due possibilità, come segue:

• f : R → R def. da f(x) = x², oppure
• f : R → R : x → x².

Immagine di una funzione

Definizione 1.6. Data una funzione α : A → B, l'elemento associato da α ad x ∈ A si chiama immagine di x mediante α e si denota con α(x).

Le definizioni che seguono si riferiscono ad una generica funzione α : A → B.

Definizione 1.7. Dato I ⊆ A, l’immagine di I mediante α è α(I) = {α(x) | x ∈ I}.

Definizione 1.8. L’immagine della funzione α : A → B è im α = α(A) = {α(x) | x ∈ A}.

Antiimmagine di una funzione

Definizione 1.9. Dato J ⊆ B l'antiimmagine (o controimmagine) di J mediante α è α^-1(J) = {x ∈ A | α(x) ∈ J}.

Risposta alla domanda iniziale. Facendo J = {b} nella def. 1.9, abbiamo: α^-1({b}) = {x ∈ A | α(x) = b}.

Quindi α^-1({b}) è l'insieme di tutti gli x ∈ A tali che α(x) = b.

Esempi

Esempi 1.10. Con riferimento a f : R → R : x → x²,

• f(7) = 49;
• f^-1(]1, 3[) = {x ∈ R | x² < 3} = [0, 9[;
• im f = [0, +∞[;
• f^-1(]4, 9]) = [-3, 3];
• f^-1({25}) = {-5, 5};
• f^-1({-9}) = ∅.

Definizione di funzione iniettiva

Definizione 1.11. Una funzione α : A → B si dice iniettiva se ∀x, y ∈ A : (α(x) = α(y) ⇒ x = y).

Si legge: “Per ogni x e y in A, se α di x è uguale ad α di y, allora x = y.”

Esempio 1.12. Dimostriamo che la funzione g : R → R : x → x + 1 è iniettiva. Infatti, consideriamo x, y tali che g(x) = g(y). Segue:

x + 1 = y + 1 ⇒ x - y = 0.

Quindi la funzione è iniettiva.

Esempio 1.13. f : R → R : x → x² non è iniettiva, perché f(1) = f(-1) ma 1 ≠ -1.

Definizione di funzione suriettiva

Definizione 1.15. Una funzione α : A → B si dice suriettiva se im α = B.

Esempi 1.16. La funzione f non è suriettiva perché im f = [0, +∞[ ≠ R. È invece suriettiva h : [0, +∞[ → R, x → x². Poi im g = R, quindi anche g è suriettiva.

Definizione di funzione biiettiva

Definizione 1.17. α : A → B si dice funzione biiettiva (o biiezione) se è sia iniettiva che suriettiva.

Esempi 1.18. La funzione f non è biiettiva, h non è biiettiva, g è biiettiva.

Osservazioni sulle funzioni biiettive

Osservazione 1.19. Se α : A → B è iniettiva, allora ogni y ∈ B è immagine di al più un elemento del dominio. Se α : A → B è suriettiva, allora ogni y ∈ B è immagine di almeno un elemento del dominio. Quindi se α : A → B è biiettiva, allora ogni y ∈ B è immagine di esattamente un x ∈ A.

Allora, se α è biiettiva, associando ad ogni y ∈ B l’unico x ∈ A tale che α(x) = b si ottiene una nuova funzione, detta inversa di α, denotata con α^-1 : B → A.

Osservazione 1.20. Se α : A → B è biiettiva e b ∈ B, allora α^-1(b), ovverosia l'immagine di b mediante α^-1, è un elemento di A. In base alla definizione 1.9, invece α^-1({b}) è l'insieme {x ∈ A | α(x) = b}, formato in tal caso da un solo elemento.

Funzioni composte

Definizione 1.22. Date α : A → B e β : C → D tali che im α ⊆ C, la funzione composta di α e β è β ◦ α : A → D : x → β(α(x)).

Esempi 1.23. Con riferimento a g : R → R : x → x + 1 e h : [0, +∞[ → R : x → x² si ha:

• g ◦ h : R → R : x → (x²) + 1 = x² + 1,
• h ◦ g : [0, +∞[ → R : x → (x + 1)² = x² + 2x + 1.

Osservazione 1.24. In questo caso g ◦ h = h ◦ g.

Funzione identica

Definizione 1.25. La funzione identica nell’insieme A, o identità in A, è id_A : A → A : x → x.

Proposizione 1.26. Se α : A → B è una funzione biiettiva, allora α^-1 ◦ α = id_A e α ◦ α^-1 = id_B.

Proposizione

Proposizione 1.27. Se α : A → B e β : B → A sono due funzioni tali che β ◦ α = id_A e α ◦ β = id_B, allora α è biiettiva e β = α^-1.

Restrizione di una funzione

Definizione 1.28. Data una funzione α : A → B e I ⊆ A, la restrizione di α ad I è la funzione α_I : I → B : x → α(x).

Esempio 1.29. La funzione f : R → R : x → x² non è iniettiva, ma f_[0,+∞[ lo è.

Compito

Compito 1.30. L’insieme R² è l’insieme di tutte le coppie ordinate di numeri reali: R² = {(x, y) | x, y ∈ R}.

Data la funzione α : R² → R : (x, y) → x + 2y, calcolare α^-1({7}).

Lezione 2: Campi e matrici

Prodotti che non soddisfano la legge di annullamento

Esistono dei "prodotti" che non soddisfano la legge di annullamento ⇒ AB = 0 ⇒ A = 0 o B = 0?

Campi

Definizione 2.1. Un’operazione binaria in un insieme A è una funzione ω : A × A → A.

Esempio 2.2. Un’operazione binaria in Z è ω : Z × Z → Z : (x, y) → x + y.

Notazione 2.3. Se ω è un’operazione binaria in A, si usa scrivere x ω y in luogo di ω((x, y)), così come si usa scrivere 2 + 3 anziché +((2, 3)).

Definizione 2.4. Un campo è una terna ordinata (K, +, ·) dove K è un insieme e “+”, “·” sono operazioni binarie in K, soddisfacenti le seguenti proprietà (scriveremo xy invece di x · y).

• (i) Esistono due elementi distinti in K, denotati con “0” e “1”, tali che ∀x ∈ K valgono x + 0 = x (2.1) e x · 1 = x (2.2).
• (ii) Per ogni x, y, z ∈ K valgono:
  • (x + y) + z = x + (y + z) (2.3)
  • ∃x⁰ ∈ K : x + x⁰ = 0 (2.4)
  • x + y = y + x (2.5)
  • (xy)z = x(yz) (2.6)
  • x(y + z) = (xy) + (xz) (2.7)
  • xy = yx (2.8)
  • ∃x⁻¹ ∈ K, x ≠ 0 : xx⁻¹ = 1. (2.9)

Esempi 2.5. (R, +, ·) dove “+” e “·” sono le normali operazioni di somma e prodotto, è un campo. Anche (Q, +, ·) è un campo, ma (Z, +, ·) non lo è (non vale la 2.9), e nemmeno (N, +, ·) è un campo.

Esempio 2.6. Consideriamo l’insieme K = {B, R}, con le operazioni descritte dalle seguenti tabelle:

Ad esempio R + B si calcola guardando nella riga di R e nella colonna di B, R + B = R. Si verifica che (K, +, ·) soddisfa tutti gli assiomi nella def. 2.4, quindi è un campo. In esso 0 = B, 1 = R.

Osservazione 2.7. La “maggior parte” delle proprietà algebriche che avete studiato a scuola (ad es. i prodotti notevoli, il quadrato di un binomio, le formule per le equazioni di secondo grado, il teorema di Ruffini, ecc.) si dimostra a partire dalle proprietà presenti nella definizione di campo. Quindi le suddette proprietà algebriche sono valide in ogni campo. Seguono alcuni esempi di tali proprietà.

Proposizione 2.8. Sia (K, +, ·) un campo. Allora per ogni x ∈ K vale x · 0 = 0.

Dimostrazione. Osserviamo che:

• x · 0 + x = x · 0 + x · 1 = x(0 + 1) = x(1 + 0) = x · 1 = x (2.2) (2.7) (2.5) (2.1) (2.2)

Per la (2.4) esiste x⁰ ∈ K tale che x + x⁰ = 0 e quindi dalle equazioni sopra:

• (x · 0 + x) + x⁰ = x + x⁰ = 0. (2.10)
• (x · 0 + x) + x⁰ = x · 0 + (x + x⁰) = x · 0 + 0 = x · 0 (2.3) (2.1)

Combinando (2.10) e (2.11) si ottiene x · 0 = 0.

Proposizione 2.9. Sia (K, +, ·) un campo e A, B ∈ K. Allora AB = 0 implica A = 0 o B = 0.

Dimostrazione. Se A = 0 vale la tesi e la dimostrazione è finita. Consideriamo ora il caso A ≠ 0. Per (2.9), (2.8) esiste A⁻¹ ∈ K tale che AA⁻¹ = 1 e A⁻¹A = 1. Sfruttando quest’ultima equazione si ottiene:

• A⁻¹ · B = A⁻¹ · 0 = 0 (2.8) (2.6)

Matrici

Ecco la generica matrice ad m righe ed n colonne ad elementi in un campo K (per es. K = R), altrimenti detta matrice m × n ad elementi in K:

• a_ij ∈ K è l’elemento generico di A;
• i è l’indice di riga;
• j è l’indice di colonna;
• M(m × n, K) denota l’insieme di tutte le matrici m × n ad elementi in K;
• Se A ∈ M(m × n, R), si dice matrice reale;
• Se A ∈ M(m × n, C), si dice matrice complessa.

La matrice in (2.12) si rappresenta anche con la seguente notazione: A = (a_ij) ∈ M(m × n, K).

Esercizio 2.10. Scrivere per esteso la matrice A = (a_ij) ∈ M(2 × 3, R) definita ponendo a_ij = 2i - j per ogni i = 1, 2, j = 1, 2, 3.

Svolgimento. A =

Definizione 2.11. La matrice nulla m × n è la matrice O_m×n = (z_ij) ∈ M(m × n, K) definita ponendo z_ij = 0 per ogni i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n. Talora potremo scrivere semplicemente O in luogo di O_m×n.

Definizione 2.12. La matrice opposta di A = (a_ij) ∈ M(m × n, K) è la matrice -A = (b_ij) ∈ M(m × n, K) definita ponendo b_ij = -a_ij, per ogni i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n.

Esempio 2.13. L’opposta della matrice

Definizione 2.14. La somma di A = (a_ij) ∈ M(m × n, K) e B = (b_ij) ∈ M(m × n, K) è la matrice A + B = (c_ij) ∈ M(m × n, K) definita ponendo c_ij = a_ij + b_ij, per ogni i, j.

Esempio 2.15.

Osservazioni 2.16. 1) Se A ∈ M(m × n, K), allora A + O_m×n = A. 2) Se A ∈ M(m × n, K), allora A + (-A) = O_m×n.

In seguito la differenza di due matrici m × n è definita tramite A - B = A + (-B).

Proposizione 2.17. Se A, B, C ∈ M(m × n, K), allora:

• (A + B) + C = A + (B + C) (propr. associativa della somma)
• A + B = B + A (propr. commutativa della somma).

Notazione 2.18 (Il simbolo di sommatoria). Se a_j, j = 1, 2, …, n, denota un elemento di K dipendente dall’indice j, allora

∑ⁿ_j=1 a_j = a₁ + a₂ + … + a_n

Esempio: ∑³_j=1 j² = 1² + 2² + 3²

Definizione 2.19. Il prodotto delle matrici A = (a_ij) ∈ M(m × n, K) e B = (b_jh) ∈ M(n × p, K) è la matrice AB = (c_ih) ∈ M(m × p, K) definita ponendo

c_ih = ∑ⁿ_j=1 a_ijb_jh

per ogni i = 1, 2, …, m, h = 1, 2, …, p.

Esempio 2.20. Verifichiamo il prodotto:

Secondo la definizione, moltiplicando una matrice 2 × 3 per una 3 × 2 si ottiene una 2 × 2. I suoi elementi sono calcolati come segue:

• c₁₁ = 1 · 4 + 0 · 0 + (-1) · 7 = -3;
• c₁₂ = 1 · 3 + 0 · 7 + (-1) · 1 = 2;
• c₂₁ = 0 · 4 + 4 · 0 + 4 · 7 = 28;
• c₂₂ = 0 · 3 + 4 · 7 + 4 · 1 = 32.

Vedremo più avanti che tale definizione si motiva con il fatto che il prodotto tra matrici corrisponde alla composizione di funzioni lineari.

Proposizione 2.21. Se A, A⁰ ∈ M(m × n, K), B, B⁰ ∈ M(n × p, K), C ∈ M(p × q, K), allora valgono:

• (AB)C = A(BC) (propr. associativa del prodotto)
• A(B + B⁰) = AB + AB⁰ (distributiva del prodotto rispetto alla somma)
• (A + A⁰)B = AB + A⁰B (altra propr. distributiva).

Problema

Vale AB = BA?

Intanto, se A e B non sono quadrate (cioè m = n) delle stesse dimensioni, risulta o che BA non è proprio definita, o ha dimensioni diverse da AB. Quindi il problema si pone solo nel caso A, B ∈ M(n × n, K).

Esercizio 2.22. Date le matrici reali

Svolgimento.

Due conseguenze:

• Il prodotto tra matrici non gode della proprietà commutativa.
• Se A, B sono matrici quadrate, AB = O non implica A = O o B = O.

Risposta alla domanda iniziale. Il prodotto tra matrici non soddisfa la legge di annullamento del prodotto.

Definizione 2.23. Se A, B ∈ M(n × n, K) e AB = O_n×n, A ≠ O_n×n ≠ B, allora A e B si dicono divisori dello zero o anche zerodivisi.