Appunti di Geometria sui numeri complessi

1 Numeri complessi

Definizione 1.1. Un numero complesso z è un’ espressione del tipo a + ib

∈ R −1.

2

con a, b e i simbolo soggetto alla condizione i =

C.

L’insieme dei numeri complessi si indica con

Due numeri complessi z = a + ib e z = c + id coincidono se e solo se a = c

1 2

e b = d. ∈ C.

Sia z = a + ib

Definizione 1.2. Chiameremo a parte reale di z e la indicheremo Rez, b co-

efficiente dell’immaginario e lo indicheremo Imz; bi si dirà parte immaginaria

di z. C

Le operazioni di somma e prodotto si effettuano in usando le regole del

−1

2

calcolo algebrico avendo cura di rimpiazzare i con e convenendo che

m n m+n n m

a(bi) = (ab)i, ai = ia, i i = i = (i ) , qualunque siano i numeri reali

∈ C

a, b ed i numeri naturali m, n. Per ogni z = a + ib, z = c + id porremo

1 2

• ∈ C

z + z = (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)

1 2

• − ∈ C

z z = (a + ib)(c + id) = (ac bd) + i(ad + bc)

1 2 C

Osservazione 1.3. Con le operazioni di somma e prodotto definite è un

campo. Infatti si verifica facilmente che somma e prodotto sono commutative

e associative e che il prodotto è distributivo rispetto alla somma. Inoltre:

• l’elemento neutro della somma è il numero complesso 0 + i0 che in-

dicheremo con 0;

• ∈ C −z −a − ∈ C;

l’opposto di z = a + ib è = ib

• l’elemento neutro del prodotto è il numero complesso 1 + 0i che in-

dicheremo con 1; −1 − ∈ C.

• ∈ C − {0} 1 a b

) = i

l’inverso di z = a + ib è z (= 2 2 2 2

z a +b a +b

Converremo di identificare con ilnumero reale a il numero complesso a + 0i:

R C ⊂ C).

ciò permette di riguardare come sottoinsieme di (R I numeri

complessi con coefficiente dell’immaginario nullo si diranno immaginari puri.

√ ||z||

|z| 2 2

2 2

a + b e = a + b

Definizione 1.4. I numeri reali non negativi = ∈ C).

si dicono rispettivamente modulo e norma di z(= a + ib

∈ C. − ∈ C

Definizione 1.5. Sia z = a + ib Il numero complesso z = a ib

∈ C ∈ C

si dice coniugato di z. La funzione che ad ogni z fa corrispondere z

è chiamata coniugio. ∀z, ∈ C

Si verificano facilmente le seguenti proprietà del coniugio. z , z

1 2

• z = z

• z + z = z + z

1 2 1 2

• z z = z z

1 2 1 2

• −z −z

=

• ∈ R ⇐⇒

z z = z

• ∈ R

z + z = 2Rez

• ||z|| ∈ R

zz =

∀z, ∈ C − {0} ∈ C

z e z si ha inoltre

2 1

−1

• z

z = ||z||

• z z z

=

1 1 2

||z ||

z 2 2

Infatti:

−1

• z z

1

1 = =

z = ||z||

z z z

• z z

z 1

= z = .

1 2

1 1 ||z ||

z z

2 2 2

Piano di Argand-Gauss. Fissato nel piano un sistema di coordinate carte-

{O,

siane ortogonali x, y}, associando ad ogni numero complesso z = a + ib

C

il punto P (a, b) si ottiene una corrispondenza biunivoca fra e i punti del

piano che è detto piano di Argand-Gauss. I numeri reali, cioè i numeri con

b = 0 sono rappresentati dai punti dell’asse x, gli immaginari puri che hanno

a = 0 dall’asse y. I due assi x e y si dicono rispettivamente asse reale e asse

C

immaginario. Allo 0 di corrisponde l’origine O(0, 0); ai numeri complessi

i e 1 corrispondono rispettivamente i punti di coordinate (0, 1) e (1, 0). La

√ 2 2

a + b , è il modulo di z = a+ib.

distanza di P (a, b) dall’origine O, uguale a ∈ C − {0}.

Forma trigonometrica dei numeri complessi. Sia z = a + ib

√ 2 2

Indichiamo con ρ = a + b il modulo di z. Chiameremo argomento di z, e

lo indicheremo Argz, l’angolo θ, definito a meno di multipli di 2π, per cui

a = ρ cos θ e b = ρ sin θ.

Dalle formule precedenti si ottiene, se ρ e θ sono modulo e argomento di z,

z = a + ib = ρ cos θ + iρ sin θ = ρ(cos θ + i sin θ).

L’ultima formula si chiama formula trigonometrica del numero complesso z.

Osserviamo che se ρ = 0, qualunque scelta di θ non cambia il risultato, per la

̸

rappresentazione rimane valida in generale, anche senza la restrizione z = 0.

Proposizione 1.6. Siano z = ρ (cos θ + i sin θ ), z = ρ (cos θ + i sin θ )

1 1 1 1 2 2 2 2

due numeri complessi non nulli. Allora z z ha modulo ρ ρ e argomento

1 2 1 2

θ + θ .

1 2

Dimostrazione. z z = (ρ (cos θ + i sin θ )ρ (cos θ + i sin θ )) =

1 2 1 1 1 2 2 2

−

= ρ ρ ((cos θ cos θ sin θ sin θ ) + i(cos θ sin θ + sin θ cos θ )) =

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

= ρ ρ (cos(θ + θ ) + i sin(θ + θ )).

1 2 1 2 1 2

Il risultato si estende, in modo ovvio, al prodotto di più fattori ed in

particolare può essere applicato al calcolo delle potenze ad esponente intero

n > 0, ottenendo la seguente

Proposizione 1.7. Formula di de Moivre.Siano z = ρ(cos θ +