Appunti di Fisica 1

Fisica 1 Schemi

Operazioni tra vettori:

Siano: _u = (u₁, ..., u_n) _v = (v₁, ..., v_n) in Rⁿ, allora definiamo:

1. Somma:

   _u + _v = _h = (u₁ + v₁, ..., u_n + v_n)

   Infatti:

2. Sottrazione:

   _u - _v = _h = _u + (-_v) = (u₁ - v₁, ..., u_n - v_n)

   Infatti:

3. Moltiplicazione per uno scalare:

   α _u = (u₁, ..., u_n) = _n

   Infatti:

4. Prodotto Scalare:

   _u ⋅ _v = n = |_u||_v|cosθ

   è sempre uguale a 0 se a e b sono ortogonali

   Sia:

   Esempi: θ = 0 :

   ⇒ _a ⋅ _b = ab cosθ = ab

   θ = π/2 :

   ⇒ _a ⋅ _b = ab cosθ = 0

   θ = π :

   ⇒ _a ⋅ _b = ab cosθ = -ab

5. Prodotto vettoriale:

   _u × _v = _h = |_u||_v|sinθ

   _h sarà ortogonale al piano formato da _u,_v.

   Infatti:

Sistemi di Coordinate

Coordinate cartesiane:

Unidimensionali: n: _O——>

Bidimensionali:

x = OP_x = OP · cos θ

y = OP_y = OP · sin θ

OP = √(x² + y²)

Coordinate polari:

Raggio vettore:

Piano cartesiano: Raggio vettore:

r(t) = √(x² + y²)

r̅(t) = x(t)ū_x + y(t)ū_y

Piano polare: Raggio vettore:

r̅(t) = r ū_r

OP̅ = r

Velocità:

Velocità media: v̅_m = Δr̅ / Δt = r̅(t + Δt) - r̅(t) / Δt

Velocità istantanea: v̅ = lim Δt→0 Δr̅ / Δt = ds / dt ū_t

ū_t: versore tangente

Velocità scalare: v = ds / dt

Rappresentazione intrinseca della velocità: v̅ = v ū_t

Cioè: ∀ s.d.r. la velocità è sempre un vettore tangente alla traiettoria.

Moto Rettlineo Smorzato Esponenzialmente:

È un moto vario, cioè: a = a(t) dove:

a = -Kv = ^dv/_dt e K > 0

v(t) = v₀ e^-Kt

Legge del moto:

x(t) = ^v₀/_K(1-e^-Kt) = x₀ + ∫v(t) dt

Moto circolare Uniforme:

ā_n ≠ 0, ā_T = 0

Arco Percorso: s(t) = Rθ(t) = s₀ + vt

Moto Circolare: θ(t) = θ₀ + ωt

Velocità Angolare: ω = ^v_T/_R = ^dθ/_dt

Velocità: v = ωR = ^ds/_dt û_σ

Accelerazione normale: ā_n = ^v_T2/_R = ω²R

Angolo: θ = ^s/_R Se R è costante

Numero di giri: θ_giri = ^θ/_2π

Periodo: T = ^2π/_ω = ^2πR/_vT

Raggio: R = √x² + y²

x(t) = R cos(θ(t))

y(t) = R sin(θ(t))

Componente x della velocità: v_x = -ωR sin(ωt + ω₀) = ^dx(t)/_dt = ^d/_dt [R cos(θ(t))] = ^d/_dt [R cos(ωt + ω)]

Componente y della velocità: v_y = ωR cos(ωt + ω₀) = ^dy(t)/_dt = ^d/_dt [R sin(θ(t))] = ^d/_dt [R sin(ωt + ω)]

Reazione Vincolare e Normale:

Se R ≠ 0 ma il corpo resta fermo, allora:

Esiste una reazione vincolare. Ci sono 2 casi:

1. Superficie Senza Attrito:

   Allora: N = Reazione Vincolare Normale

   Quindi: N + R = 0

2. Superficie con Attrito:

   Allora: N = Reazione Vincolare Normale

   R_v = Reazione Vincolare

   F_A = Forza di Attrito

   R_v = N + F_A

   Se il corpo è fermo: R + R_v = 0

3. Filo:

   Allora: T = Tensione

   Se il corpo è sospeso: T + mg = 0 → T = -mg

Esempio:

Allora: N + P + F_e = ma

Scomponendo:

• F_a = ma
• N - mg = 0 ⇒ a_y = 0

Forza Peso:

Sia m una massa, allora: Forza Peso: P = mg

Dove: Accelerazione Gravitazionale: g = 9.81 m/s²

Moti Relativi: Pt.1

Siano 2 sistemi di riferimento, di cui uno in movimento; O, O'.

Raggio vettore dal sistema fisso:

𝑗 = 𝑗' + 𝑗

Da cui:

Raggio vettore dal sistema mobile:

𝑗 = 𝑗 - 𝑗'

Per le velocità:

𝑒 = 𝑒' + 𝑒₀ + 𝘌 × 𝑗' = 𝑒' + 𝑒_T

Dove:

• 𝑒₀: velocità del sistema in moto rispetto a quello fisso
• 𝑒': velocità del punto rispetto al sistema mobile
• 𝘌: velocità angolare del sistema mobile

Inoltre definiamo:

Velocità di trascinamento:

𝑒_T = 𝑒 - 𝑒' = 𝑒₀ + 𝘌 × 𝑗'

↳ dipende da come il sistema mobile si muove rispetto quello fisso.

Casi particolari:

• Trascinamento Traslatorio: Il sistema mobile non ruota: 𝘌 = 0 → 𝑒_T = 𝑒₀
• ↳ In questo caso: 𝑒 = 𝑒' + 𝑒₀
• Trascinamento Rotatorio: Il sistema mobile non trasla: 𝑒₀ = 0 → 𝑒_T = 𝘌 × 𝑗'
• ↳ In questo caso: 𝑒 = 𝑒' + 𝘌 × 𝑗

Energia Cinetica:

Partendo dalla definizione di lavoro infinitesimo:

dW = F•ds = m a ds = m d ds = m v d então:

W_A^B = ∫dW = m ∫v dv = 1/2 m v_B² - 1/2 m v_A² = E_Kb - E_Ka = ΔE_K

Allora: Si definisce:

Energia Cinetica: E_K = 1/2 mv² [J], di un corpo con massa: m e velocità: .

Tornando al risultato precedente si ha:

Teorema dell'energia cinetica: W = ΔE_K

Abbiamo che: (W>0 ⇒ ΔE_K > 0 ⇒ v aumenta

W