Complementi di analisi matematica per l'ingegneria informatica - Appunti

Dato un insieme

A ⊂ ℝ e due elementi x₀, l ∈ ℝ con x₀ ∈ Acc(A).

Si dice limite per x che tende ad x₀ di f(x) [con f: A ⇒ ℝ] esi indica conlim x→x₀ f(x) = l se e solo se.

∀ε>0 ∃ δ=δ(ε) >0∣ x ≠ x₀, |x-x₀| < δ, x ∈ A ⇒ |f(x)-l| < ε

Prodotto Scalare e Norme.

Def. Prodotto Scalare:

Dati due vettori u̅, v̅ ∈ ℝᵐ si dice prodotto scalare un'applicazione:

: ℝᵐ × ℝᵐ ⇒ ℝ tale che soddisfi i seguenti assiomi:

1. ⟨u̅, v̅⟩ = ⟨v̅, u̅⟩
2. ⟨u̅, u̅⟩ > 0 e ⟨u̅, u̅⟩ = 0 ⇔ u̅ = (0, 0, .., 0)
3. ∀l, m ∈ ℝ e ∀u̅, v̅, w̅ ∈ ℝᵐ si ha:

⟨l u̅ + m v̅, w̅⟩ = l⟨u̅, w̅⟩ + m⟨v̅, w̅⟩

In particolare: ⟨u̅, v̅⟩ = u₁v₁ + u₂v₂ + ... + uₘvₘ = Σᵢ=₁ᵐ uᵢvᵢ

Prodotto Scalare e Norme

Def. Prodotto Scalare

Dati due vettori \(\vec{u}, \vec{v} \in \mathbb{R}^m\) si dice prodotto scalare un'applicazione:

\(\langle \cdot, \cdot \rangle: \mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^m \longrightarrow \mathbb{R}\) tale che soddisfi i seguenti assiomi:

1. \(\langle \vec{u}, \vec{v} \rangle = \langle \vec{v}, \vec{u} \rangle\)
2. \(\langle \vec{u}, \vec{u} \rangle \geq 0 \quad e \quad \langle \vec{u}, \vec{u} \rangle = 0 \Longleftrightarrow \vec{u} = \vec{0}\)
3. \(\forall \lambda, m \in \mathbb{R} \quad e \quad \forall \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \in \mathbb{R}^m \quad si \ ha\)

\(\langle \lambda \vec{u} + m \vec{v}, \vec{w} \rangle = \lambda \langle \vec{u}, \vec{w} \rangle + m \langle \vec{v}, \vec{w} \rangle\)

In particolare: \(\langle \vec{u}, \vec{v} \rangle = u_1v_1 + u_2v_2 + ... + u_nv_n = \sum_{i=1}^m u_i v_i\)

”Il numero reale positivo. ||u⃗||=√<u⃗,u⃗>”

||u⃗||=√∑_i=1ⁿ(u_i)²

∀u⃗,v⃗∈R^m e ∀α∈R si ha:

1. ||u⃗|| ≥ 0
2. ||u⃗|| = 0 ⇔ u⃗ = (0,...,0) = 0⃗
3. ||α⋅u⃗|| = |α|⋅||u⃗||
4. ||u⃗+v⃗|| ≤ ||u⃗|| + ||v⃗||

Dalla proprietà II segue: ∀α∈R^m, ||-u⃗|| = ||u⃗||

∀x⃗,y⃗∈R^m, si ha:

|<x⃗-y⃗| ≥ ||x⃗|-|y⃗||

||x⃗|| = ||x⃗-y⃗+y⃗||

Dalla proprietà II si ha: ||x⃗-y⃗+y⃗|| ≤ ||x⃗-y⃗|| + ||y⃗||

Ma: ||x⃗-y⃗+y⃗|| ≥ ||x⃗|-||y⃗||, ⇒ ||x⃗-y⃗|| ≥ ||x⃗||-|y⃗||

Ma per la proprietà I, ||x⃗-y⃗|| - ||y⃗|| ≤ ||y⃗|| - ||x⃗||

Osservazione: ∀j = 1, 2, ..., m si ha: |u_j| ≤ ||u||

Nota: la j-esima componente del vettore è ≤ (minore o uguale alla norma/lunghezza)

Quindi: max_{j = 1, 2, ..., m} {|u_j|} ≤ ||u||

u_j² < u₁² + ... + u_m² = ||u||²

Dunque si ha: ||u|| < √m max_j {|u_j|} ⇔ ||u||² = m max_j {u_j²}

Proposizione 2:

∀u∈ℝ^m ∀j∈ℕ_m si ha: max_j {|u_j|}² ≤ ||u|| < √m max_j {|u_j|}

Dim.:

L'affermazione è equivalente a:

max_{j=1, ..., m} {u_j²} ≤ ||u||² = a₁² + a₂² + ... + u_m² < m max_{j=1, ..., m} {u_j²}

E.s. Sia û = (x, y) con: ||û||² = x² + y² = 1

Allora si ha che: x² ≤ 1 e y² ≤ 1

Dunque: |x| ≤ 1, |y| ≤ 1

Intorni, Punti Interni, Esterni e di Frontiera

Def. Intorno (Circolare)

Dato un vettore ₀ ∈ ℝ^M e uno scalare r ∈ ℝ₊ con: r > 0, insieme:

B(₀,r) = { x ∈ ℝ^M | || x - ₀ || < r }

Si dice Intorno (Circolare) di centro ₀ e raggio r.

Nota: Se M = 1, si ha: B( ₀,^0,) = | x - ₀ | < r.

Nota: ₀ è detto anche punto e può avere più di due coordinate.

Def.

Sia A ⊆ ℝ^M e ₀ ∈ ℝ^M per r > 0. Si ha che:

1. ₀ è Interno ad A se: ∃ B(₀,r) ⊆ A
2. ₀ è Esterno ad A se: ∃ B(₀,r) ⊆ C_A (complementare di A)
3. ₀ è di Frontiera per A se: non è né interno né esterno.

₀ ∈ Fr(A)

Es.

Dato A = { x ∈ ℝ² | ¹ < x₁ + x₂ < 2 }

• Il punto: ( ⁵/ ⁵/) è interno.
• Il punto: (0,0) è esterno.

È possibile trovare un r >