Complementi di analisi matematica per l'ingegneria informatica - Appunti

Dato un insieme A ⊂ R e due elementi x₀, l ∈ R con x₀ ∈ Acc(A).

Si dice limite per x che tende ad x₀ di f(x) [con f: A → R] e si indica con

lim_x→x0 f(x) = l se e solo se.

∀ε > 0 ∃ δ(ε) > 0 ok x ≠ x₀ δ > 0 x ∈ A ⇒ f(x) - l < ε

Prodotto Scalare e Norma.

Def. Prodotto Scalare.

Dati due vettori , ∈ R^M si dice prodotto scalare un applicazione:

< , >: R^M R^M → R tale che soddisfi i seguenti assiomi:

1. <, > = <, >
2. <, > ≥ 0 e <, > = 0 ⇔ = (0, 0, . . ., 0)
3. ∀ l ∈ R e ∀ , , ∈ R^M si ha:

< l + m, > = l <, > + m <, >

In Particolare: <, > = u₁v₁ + u₂v₂ + . . .+u_nv_n= ∑_i=1^mu_iv_i

1.

Dice norma di u ϵ ℝ^m il numero reale positivo. ||u||=√(u,u)

Ricordare:

1. ||u||=√∑(u_i)²

2. ∀u,vϵℝ^m ∀αϵℝ si ha:

• ||u||≥0

• ||u||=0 ⟺ u =(0,...,0) = 0

• ||α ⋅ u|| = |α| ⋅ ||u||

• ||u + v|| ≤ ||u|| + ||v||

Dim:

Dalla Proprieta II segue: ∀αϵℝ^m || -u|| = ||u||

Dim:

∀x,y ϵ ℝ^m, si ha:

• ||x-y|| = ||x-ŷ + ŷ – y ||

• ||x|| = || x – ŷ + ŷ ||

^{û_û⏷x-ŷŷ}

• ||x||↓^

Dalla Proprieta II si ha: ||x-ŷ + ŷ|| ≤ ||x- ŷ|| + ||ŷ||

Ma:

• ||x– ŷ + ŷ|| = ||x||

•||x - ŷ+ ŷ|| ≤ || x - ŷ || + ||ŷ || ⟹ ||x ŷ || ≥ ||x || - ||ŷ||

Ma per la Proprieta II

||x - ŷ|| = ||ŷ - x|| ➩ ||x - ŷ|| ≥ ||y|| = ||ŷ| - ||x||

A = B ∪ C ∪ D

Coni:

B = { (x, y) ∈ R² | y < 0 }

C = ⋃_k=1^∞ { (x, y) ∈ R² | y = kx }

D = { (1,1), (0,1), (-1,1) }

ya

x

accum

C

isolat

a aderente

i

D

O (0,0)

interno

B

Hp.

f : ℝⁿ ➝ ℝ

∃ lim_{x ➝ x₀} f(x) = l₁ ∈ ℝ

g : ℝⁿ ➝ ℝ

∃ lim_{x ➝ x₀} g(x) = l₂ ∈ ℝ

⇨ ∃ lim_{x ➝ x₀} f(x)g(x) = l₁ l₂

Dim.

⧫ |f(x)g(x) - l₁ l₂| = |f(x)g(x) - l₁g(x) + l₁g(x) - l₁ l₂| =

= |g(x)(f(x) - l₁) + l₁(g(x) - l₂)| ≤

≤ |g(x)(f(x) - l₁)| + |l₁(g(x) - l₂)| ≤ |g(x)|

⧫ Siccome g ➝ l₂ e g è localmente limitata, cioè ∃ U_π(x₀) e

∃ M > 0 |g(x)| < M ∀ x ∈ U_π(x₀)

⧫ Perché: lim_{x ➝ x₀} f(x) = l₁, ∀ ε > 0 ∃ U_π(x₀) ∀ x ∈ U_π(x₀) - {x₀} ⇒ |f(x) - l₁|