Appunti Analisi 1

Calcolo Differenziale

f: I ⊆ ℝ → ℝ con I intervallo

Limiti

• Detto lim_x→x₀ f(x) = L ⇔ ∀ε > 0 ∃ δ > 0
• Se 0 < |x - x₀| < δ ⇒ |f(x) - L| < ε

Derivabilità

Def: f: I → ℝ, f derivabile in x₀ ∈ I se:

f'(x₀) esiste e finito

Teorema: f non derivabile in x₀ ⇔ f non continua in x₀

Teorema: Continuità deriva da derivabilità

Teorema: Continuità ⇒ f'(x) esiste ⇔ criterio di continuità

Teorema: Se f continua in x₀, derivabilità in x₀ esiste

Nota Bene: Derivazione non implica continuità

• Se f(x) ha derivata continua ∀x∈I f continua in I

Def: Continuità intermedia

f(x) continua in x₀ se lim_x→x₀⁻ f(x) = lim_x→x₀⁺ f(x)

Teorema 1: Limite destro coincide con sinistro

Derivate notevoli:

• f(x) = xⁿ ⇒ f'(x) = nxⁿ⁻¹
• f(x) = sen(x) ⇒ f'(x) = cos(x)

Def: Lim e identità

Derivate delle funzioni notevoli

• f(x) = eˣ ⇒ f'(x) = eˣ
• f(x) = cos(x) ⇒ f'(x) = -sen(x)

Derivata di rapporto, somma e differenza

Derivata della funzione intrinseca:

• (f(g(x)))' = f'(g(x)) · g'(x)

Calcolo Differenziale

Segue che per un x0 fissato

f deve essere definita in un intorno di x0

1. La funzione deve avere limite finito nel punto
2. Il limite del rapporto incrementale deve esistere ed essere finito:

Teorema (Derivabilità => Continuità)

1. Formula
2. Formula

Nota bene

Teorema continuità non => derivabilità

Nota bene se f(x) misurabile per x tendente a x0

Formula

Nota bene non esiste (=> non continua)

Differenziabilità

Se funzione è continua e limita

Teorema derivabilità in un punto

Teorema derivabilità è maggiore

Formule fondamentali

Segue che

Esempio rimozione

Dimostrazione

Segue:

Lim x tende a x0 continue f(x) = f(x)

Formula

Derivata è continua

Segue

Derivata continua

Teorema note bene

Es - ret - cam

g(x) = bcos(x)g(x) = x - ln(x)

Es

g(x) = ln(1 + x²)

f(x) = ∛(x²)^1/3V = √(x²+ x)^1/2 ln(x + 1)

1/V = ∫e(x + 2)² dx= (e^x/V

Defx₀ = I ⊆ R, f numerabile in x₀se esiste lim₇→₋.x₀ = ...

Defse f ≥ f a, f_x = ∫f ≥ i, ≥ lim ≤ f(a)x₀ numerabile

Defse f con f numerabile se f x ∡ se - f(x) = 0

Es(x) a se fxf – f(a) =√x &isin E(a,x)

Defse x₀ ∞se x > 0f_Z (x) = ∫ dx/xf ∨ f =f(x₀) - f(x)

lim_x→0⁺ x → sin(x)/

Teoremadim

Sia f: I → R, I numerabilese x₀ ∈ I,f_x0 numerabile se f(x)₀ = x

Se x₀ ∈ E(f),f' con xse f numerabilef'_x = 00ff'_x0

Os X_x

Sia x ≥ 0f'(a)

Ossf