XII
/I numero IIXII
Reale Positivo dice
Dato E X-X
=
, .
NORMA Vettori Versori
Norma dicono
1 Si
di
DI X . .
PROPRIETA : X
(a) Il 0
05
xl) > n
= /
=
= EIR
<
(D) Il
112
Se XI
121
XIl = .
,
(2) y11(((XI) 11Y11
V FIR BISUG
11 x TRIANG
4 +
x + .
, .
CAUCHY-SCHWARZ
IX Y1
(d) <lIXIIIIYII Disug
. .
Definizione di coseno dell’angolo:
er" w
il dell'angolo
Dati definisce
si
nulli
Non Tra v
V los e
Vettori
2 w ,
,
Segue
Come : V W
Cos() -
= 1121111 Will
Esempi : (0)( 1)
1)
( + :
(1) -
-
-
-
cos()
1)
(
0) = =
(1 1
v =
w =
= =
= -
- 1
,
, 112 112
83(
12 1
+ + -
(*) S
= arcos =
Definizione di vettori ortogonali:
EIR" ORTOGONALI w
sinGu p
Se
sono
ew
V =
.
Esempio : (3)(
1((0)
+
(7 1)
(1) (7) ( -1)
-1)
0
11 -1 -1 (4)
9
3) Se
4 Ortog +
+
e =
-
-
, ,
.
. , . 0 Ok !
=
Definzione di ortonormale: IR"
[U1 Un3
Sia base
di Prod
base .
Scalare
dotato
una del La
.
...,
,
SV dice
Un] ORTONORMALE Se
Si :
...,
, Il
Il Vall 1
11 Vill Ossia
Will sono
della base
i versori
vent
· = =
=... = . Ortogonali
base 2
sono
della
Vi-Uj a
o Ossia i vert a
· 2
+
= .
Esempio : 113
(1
IR3 è 10 8160 0
base 1
01
0
La di Ortonormale
can ,
,
, ,
,
,
.
.
11 11/0
11 (0 0111 1111
0111 0 2
(1 1
0 =
=
=
· , , ,
, ,
, 01/0 0 1) 0
:( 01 (0
(1 11
81 0
(1 1
0 0 0110
1 0 =
· = =
,
, ,
. , , , ,
, ,
, .
Definizione di ISOMETRIA: DEEnd(R") ER"9(x)
Fx P(y)
abbia si
t y
Un X
endomorfismo y
c =
: :
,
.
IR"
un'ISOMETRIA di ScalaRel
Covvero Rispettare
deve
dice PRod .
Proposizione: E IR" Non Ortogonali
due
nulli allora
dei que
Siano vertori
Um a a
v , ,
.... INDIPENDENTI
LINEARMENTE
Sono
Um
V
....,
Dim : 0
.
[m
Sia O che 21
mostriamo
daVy dmum
+.... =
+ = =
=...
, bilinearità
la
(d Orm 0
,
<mum) per .
ma Prod
del
na
Si U + V
Un +... · =
=
,
, 22)
(1)
(Un 22(v1
Si Um)
dm(V
(v
U
Scalare mum)
na +...
(
+ +
= +
.. +... · -
,
d111 Vill poiché
dunque O loro Ortogonali
Sono
vert
i tra
= . .
#
Il -
Will 0
+ 0
Ma quindi <1 = .
Proposizione: De End(IR") è basi
Un Ortonormali
Invertibile Ortonormali
ISOMETRIA in
basi
manda
e .
Vediamo che proprietà possiede la matrice A di un isometria φ rispetto alla base canonica
OVVERO A Arm
= b
,
Proposizione: IR"
A e
Se un'isometria
la
è Canonica
ad base
rispetto alla
associata
matr ,
.
Si Ra : IRh
A di
le
(i) di formano Ortonormale
base
colonne una IRh
(ii) A formano di
base
una
righe
le di orionorm .
T 1)
At
AtA
AA In Cossia
(iii) -
A
=
=
=
Dim :
Le colonne di A sono le immagini tramite φ dei vettori della base canonica. Poiché la base canonica è
Si ortonormale, anche le colonne di a formano una base ortonormale. dilR" è
A
le equivalente
(iii) di formino una
Il colonne base Ortonorm
che a
fatto .
A-
APA At AAt
questo In
In implica anche
dunque
ma
= = = .
,
, si
Il fatto che le righe di A formino una base normale è equivalente a
Sii
Matr
Definizione matrice ortogonale: Cossidata
AAt A
At In
A C
E =
= .
.
. .
Proposizione: d
a "
Sia Di IR Allora
A Associata
la rispetto base
End marr alla Canon
E e .
.
IR"
e A
ISOMETRIA ORTOGONALE
è
se
di solo
e maTR
una
se
un .
Definzione di sottospazio ortogonale di T: T IRP
IR"
TCIR" di
Si di
il
Si
dice indica
SOTTOSP Ortogonale
di sottoins
Sia Un Te .
.
. += [WER"/ftET 03
di t
Vent T
Ogni
ad
ORTOGOnali
Costituito dai v
T
:
Vent =
.
. . ,
Proporzione:
Tt IRh
è di
sottosp
un .
DIM : Tt +Et
0 e Ma
ha 0 quindi
t t
v
si
Se Uz
E allora , f
2
un = =
.
.
, 1 .
, ETt
0 Allo
FEET COE
0
(01 0
Vi V
+ +
V
w) t
t +
= =
+
+ = ;
. i .
(101 0
/V t)
t
Stesso si na 1
modo = =
, .
Ett #
te e Sottosp
12
Dunque quindi
e un
, , .
Proporzione: 03
(UER"/v
it
Se tm
allora V
Sina
<71 0
tm)
T t,
= = =
.
.
= ... ....
, ,
Dirm : VER" allora
vedere 0
7 tm
e C t
che
Fasciamo V
se U
= =
=.
. .
.
. - . ,
Per
0
7 Sia
V allora Certa
t Una
teT Scelta
Int + Amtm
+...
= =
. ,
. (n(Voty)
d
di /d
E
EIR xmzm)
Dunque V
< U +... +
+
+
t
m = = ..
. . 1
1 ... .
, tm)
& Vett#
m/r cioè
21.0 0
Segue + 0
the si na
vot +... m =
= ·
·
Proporzione: dimTt
E IR" IR"
Sia di
<t tm)
T allora
Sottosp dim n-me
di
un M
= =
, ... , ,
, .
.
ThTt TOTt
[0n3 IRn
Ossia Si Na
= =
:
Dim : intt Orm [On3
dunque 7 TITh
Ossia Inoltre
0
te tit ta
ha
si
Se Si
=
= =
, .
, .
[t1 che t
di
è sistema
tm] definito
è
base equaz
si dal di
se T ha
una m .
...., , dimt n-m#
Dunque
Indip
0
0 Queste Sono
ea
t +m lin na
V si
U =
= =
. .
...,
, . . .
.
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