Appunti Algebra lineare - parte 2

Osservazione : 4 e ha

V-w

che un'applicazione

se

proposizione si

lineare

Segue

all'ultima

D :

.

V (Im/41)

dim dim

,

Teorema delle dimensioni:

4

Sia V-W un'appl Ve

Tra finitamente

lineare Vettoriali W V

Spazi con

: . ,

/Im(41)

generato dim[ner(el)

dimv

ha

Allora

. si dim

+

=

Dimostrazione :

/Ker(ei) Un]

[u1

Sia base

dim Completiamo

K e Ker(4)

dimv

n una di ad

=

= , ....,

.

S UnY

U

base V

di

una UK

, .....,

... , .

4(Un)

Poiché y(Uz)

4(41)

Allora na

Si

0

=

=

= =...

, P(Un 4(Unk

P(UK)

Im(4) , esEnt)

< 4)Unk

,

< e(41) , =

= 1)

+

,

..., ,

. .

.

. . ,

.

.

. il

Otterremo

linearmente

h) e

Indipendenti

4(Unt)

Mostriamo 4(Vk

che ,

sono

+

, ....,

Im(4)

RisulTaTO dim n K

= -

Xn-1Y(Uk (Ck

Ow ha P Ow

si dnWn)

1) dnY(n) quindi

supponiamo Ukt

+ +

+....

+..... = ,

2

+ =

+

,

Ker(4)

In

CiDe dnUn

Un E

+.... +

1

+

1

+ .

(U1 Ker(4)

Un base

Poiché e allora

di

una

, ..., BrU1 BuUk quindi

2k Vk dnUn

+ +.... +

+

+ =

1 1

+ ,

.... Bu)(k Un]

S [U1

Poiché è

BeUn+ 2k diV

Unt

1Vu 0 base

dnUn UK

+ + +

+ e

-

- , ...,

+ 1

+ =

....

.... ,

, ....,

0

dn

Bi Bu

allora (k

= =

= = =

= + 1 ...

. . . . #

Definizione endomorfismo:

lineare V

Siano

Un spazio si

codom stesso

e

+V dom

cui un

uno dise

vert.

appl il

: .

. .

.

V

di

ENDOMORFISMO .

Definizione isomorfismo: D Ve w

dice

si isomorfismo

V-W V

tra W

Vettor

biettiva Gli

Un di

SP

lineare su

appl : .

. .

Mancano 2 dim della lez settimana 5

Definizione matrice associata: Si,

VE Su W

Un V

V Sia

Siano si a

Spazi whz

W di

base

vettoriali

2

e e

una

, , ...

. ...,

V-W

4

W

base un'applicazione

Sia .

lineare

di

una :

. Sopra

notazioni

Con le , (1n

[11 (12 .....

.....

A21 ..

C22 2n

... ... ...

= ämn

ar

A Av p

= w

, , am ..... ↳

W w

Y base

(Un)

4/51)

di di

base

nella

coordinate nella

coordinate

W

4/021 base

di

coordinate nella

& MATRICE ASSOCIATA ALL’APPLICAZIONE LINEARE W

4 W

V

detta V

Base di

V di

Rispetto

W e

alla

- .

Definizione di RANGO: A e

Colonne"

A

Se (IRI è

Mmin di A

matrice il

(1) RANGO "Rango di

E una Per

O ,

, ,

il indipendenti

colonne /considerate

A linearmente

di

di

massimo numero coordinate)

(3) Rg(A) ORKA

come denota

si

vettori con m -

è è

(2) un'applicazione 4

Se Vettoriali Rango

lineare

4 spazi il la

di

tra

w

V- >

: , RK(4)

Rg(e)

[M/4)

dimensione denota

dello si

Sp Vettor 0

-

. .

Osservazione : (1n

[11 (12 .....

.....

921 Azn

...... allora

A

A (dij) Cibe

AEMmin(IR)

Sia

(1) 22

con = = .....

,

a marz

(

rg(A) dim

= fre Sw wm]

Un] W

4 Ve

V-W base

(2) Sia e

un'appe siano di

lineare v

, una

: = = ,

....,

. ...,

.

W rg)

Rg(4)

base .

Allora

di Av 4)

w

= ,

, ( = n-g(A)

delle a

dimensione sistema

del

dello spazio

La soluzioni

SETTIMANA 6 (foglio esercizi 6)

Definizione: Rgd

Sia Φ: V—> W un’applicazione lineare, si dice rango di Φ la dimensione dell’immagine di Φ (Imp)

dim

=

Definizione:

Sia A un matrice il massimo numero rango righe o rango colonne il numero massimo di righe/ colonne

linearmente indipendenti. Vediamo che rango righe = rango colonne

Preposizione: V SW1

D Gue wh]

Ve

V-W Un] W

Sia Signo e

Sp W Rispett

Lineare

un'appl Tra Gli Vett .

. =

: = ,

. ...,

. ...,

. ,

a V

V Sia Si

Allora

A

base W

associata ha

di

una rispetto

W basi

di alle

una la marr

e

e ,

, . .

rgA

rgy = (w(mp)

Qw M Allora

.

W visto dim(imp) dim

dato da

Dim Sia che

l'isomorfismo

W- abbiamo

: : =