Appunti Algebra lineare - parte 4

(IR)

BE My y indipendenti, ma quindi anche le corrispondenti S righe di A sono linearmente

, indipendenti. #

11rgA deduce che 1

Si p

Dunque D

: =

= . .

Determinante:

1mA (a) A

det

allora

n a

· = =

= ,

(99) ba

ad

A detA

· =

= - I

12 an

an a +

14 2 auzdet

1) +

Am

(

A (

A

Generale Anz

det Ak1det

· +

+

·

= = -

- 39kzdetAxz+

14 1)

+ +

( Ak

( Akn det

+

+

m m -

- ....

Esempio :

I )

=

A sviluppo la rig

secondo 2

12 + det(28) (i)

33det

11

1(122 +

((((0) (2)(2)) (

detA (

1

( +

+

= -

- - . -

-

I 3( 1)

1

( 4) (2)

1

2

1 1 +

+

= . - -

-

-

. .

t 7

3

8 2 + =

- -

-

SETTIMANA 8 (foglio esercizi 8)

Proposizione: 0

A

Mn(IR) det

A se

è +

A

Sia Matrice invertibile e

E La solo se

.

Definizione matrice trasposta:

AT A La matrice trasposta è la matrice ottenuta scambiando righe e colonne

di >

-

Proposizione: ST

In

(detA) I det

BA (A)

Vale AB A

: = = .

. =

.

L’entrata (i,i) della matrice AB coincide con lo sviluppo secondo la i-esima riga del determinante di A. Per i diverso

da j, l’entrata (i,j) di AB coincide con lo sviluppo del determinante secondo la i-esima riga della matrice ottenuta

da A sostituendo la i-esima riga di A anche al posto della j-esima. #

Dunque, tale determinante è nullo poiché la matrice ottenuta non è di rango massimo (due righe sono uguali).

Metodo per calcolare l’inversa di A: sulla o

deta 1 colonna :

Si

A

Se a è invertibile : = · 931[32

A

det a2(2

(11(m +

+

= j

1(i +

A-1 det

Cij (Mij)

(

Esempio inversa

Calcola A

di =

:

: -

1

.

1 ST

A - = deta

(3)

A = (3)( 1)

1

.

1

1

.

3 -

-

5 2

.

=

svil 10 Colonna : 1 3 4

+

15 =

2

- det(2j)

(25) 11351 det(5)

12

1-1)" 0 4

2 det

det + 1

A 1

+ =

.

.

= - - . .

. .

E 42

16

26

1(4)(4)

(2)(13)

(1) 0

+ +

= =

-

dei

Calcola Cofattori

mair :

. MATR

13 =>

[11 COfat

= :

.

(25)

2 det

1)" + 2)

(0 4

(12 1)

( (

= +

= =

. 12

- (82)

- 134

- -

3

1) det(22) St

A

(1)(0 12 - 140

12)

(13 S

( =

=

. =

=

= - -

- .

7

[21 = - dez(j)

2

1(2 + (10 4)

(1)

(22 14

( + S

= = = 1

- · . Si

[23 0 =

=

[31 12

4

= -

det(m)

1(3 2

+ 1)(2)

(32 1

( -2

= =

= - . =

3det(85)

1(3 A

+ ST

(1)(6

(33 0) 6

(

= = =

-

-

Osservazione: (AT)

det det A

=

Teorema di Binet: (AB)

det (B)

A Mn(IR) (A)

B Allora

Siano det

E ha det

si = .

, . - )

(A

1)

-

(A )

Ne det(A)

(A

(1)

det 1

1

det det

A det

A

consegue - =

+

=

: =

= .

. .

1

-

det A

>

- = A

det

Definizione matrice di cambiamento di base: Un

SVi

Un]

[Vr Vi

Sia V basi Allora

V di

Vett la

Uno V MATR

Sp e 2 .

= =

...,

. ,

, ...,

. , . XvEV)

Azie V (cioe

identico idv(V)

all'endomorf

associata Rispetto

0

di =

, id . V

basi base

BASE

CAMBIAMENTO

U : dalla alla

di

Matrise di

dice

si

alle .

base Ul .

Proposizione: (Avviian)

Avvidu Avisian

Ar Cioè

Avvisian

Avisian In =

= = ridu ,

,

Avvidu

Sappiamo Avvidu Ave

Dim si

che ha

: = idvoid

!

- #

Av In

= =

! Vide

Proposizione: [V Evi Un]

d Un] basi di

V Wun'appl v Ve

V

Sia 2

Lineare =

: =

....

, ,

. ....

, .

Gw1 Wh]

[Wi

WmY Wi W Allora ha

di

basi si

z 2

= =

..., .

, ....,

, Azi Aw Ad Avviar

wip =

, widw

,

= idwop

poidr =D

Perché #

:

Definizione di matrici SIMILI: M(IR)

HE

Mn/IR)

A invertibile

7

E

2 B marriCe

simili

Quadrate

Matr si Se una

dicono

,

. H-1

A BH

che

tale =

Proposizione: Matrici simili rappresentano lo stesso endomorfismo rispetto a basi diverse

Dim:

Questo perché la matrice invertibile H può essere pensata come matrice di cambiamento di base

Proposizione: (B)

det(A) det

Se simili

B

A )

sono = =

,

Dim : (H- (BI (H) poishe

[H-1) Binet

BH) det

det

det (A) det(B)

det Der

det(A) det Dunque

Ho = =

: = .

(H)-2#

1) det

(H

det - =