Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
vuoi
o PayPal
tutte le volte che vuoi
Algebra lineare e geometria
- Esempio: 2 EQ. IN 3 INCOGNITE x1, x2, x3
2x1 + 5x2 + 7x3 = 14 6x1 + 7x2 + 9x3 = 22
Incognite: y = [y1 y2 y3]
Membro di S:
L(
[ x1 ] [ x2 ] [ x3 ]
) =
[ 2x1 + 5x2 + 7x3 ] [ 6x1 + 7x2 + 9x3 ]
→ Vettore con 2 componenti
L: R3 ⟶ R2
[ x1 ] ⟶ [ 2x1 + 5x2 + 7x3 ] ∈ R2 [ x2 ] [ x3 ]
↖ L
- ● Risolvere il sistema Determinare tutti i v-ettori
[ x1 ] [ x2 ] [ x3 ]
tali che
L ( [ x1 x2 x3 ] ) = [ 14 ] [ 22 ]
Soluzioni sistema = L-1(
[ 14 ] [ 22 ]
)
← Contr-immagine del vettore
[ 14 ] [ 22 ]
- Trucco per studiare L(x):
| 2x1 + 5x2 + 7x3 | | 6x1 + 7x2 + 9x3 | =
| 2 5 7 | | 6 7 9 |
← Matrice 2x3
= A
→
↖
Soluzioni:
x1 = 1 + t
x2 = 1 - 6t
x3 = 1 + 4t
= [ 1 1 1 ] + t [ 1 -6 4 ]
Lo spazio vettoriale Rn
Spazio vettoriale = insieme con 2 operazioni, somma e prodotto per scalare, con 8 prop.
Rn = insieme dei vett. colonna con n componenti reali:
[ x1 x2 ... xn ]T dove x1,x2,...,xn ∈ R
- Somma:
[ x1 x2 ] + [ y1 y2 ] = [ x1 + y1 x2 + y2 ]
Prop. della somma:
- Commutativa: v⃗ + w⃗ = w⃗ + v⃗
- Associativa: (v⃗ + w⃗) + z⃗ = v⃗ + (w⃗ + z⃗)
- Vettore nullo: v⃗ + 0⃗ = v⃗ ∀ v⃗ ∈ Rn
- Opposto: ∀ v⃗ ∈ Rn ∃ -v⃗ t.c. v⃗ + (-v⃗) = 0⃗ (-v⃗ = [ -x1 -x2 ] dove v⃗ = [ x1 x2 ])
- Differenza:
v⃗ - w⃗ = v⃗ + (-w⃗) e l'unico vettore che sommato a w⃗ dà v⃗
[ x1 x2 ] - [ y1 y2 ] = [ x1 - y1 x2 - y2 ]
Prodotto per uno scalare:
t[ x1 x2 ] = [ tx1 tx2 ]
- t(v⃗ + w⃗) = tv⃗ + tw⃗
- (t1 + t2)v⃗ = t1v⃗ + t2v⃗
- (t1t2)v⃗ = t1(t2v⃗)
- 1v⃗ = v⃗
- Norma: ||v⃗|| ∈ Rn
• Ripasso:
Sistemi lineari
Sistema di m equazioni lineari in n incognite
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2...am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm
Coefficenti e termiti noti bi sono numeri reali(appartengono al campo K prescelto, per esempio Q o C).
• Esempio:
x1 + 2x2 + 3x3 = 6x2 + x3 = 22x2 + x3 + 2
• matrice completa:1 2 3 60 1 1 20 2 1 2
• Esempio
1 2 3-1 13 8 10
x1x2x3
=
x1 + 2x2 + 3x32x1 - x2 + x33x1 + 8x2 + 10x3
x1 + 2x2 + 3x3 = 62x1 - x2 + x3 = 23x1 + 8x2 + 10x3 = 20
Viceversa
Le operazioni di riga sono reversibili:
- Es: A = ab
A ha rango 2 ⟹ ad-bc≠0 det dA
Dim
r(A) = numero di righe non nulle di U
se a≠0 ; A = 0c
Conclusione, se a=c=0, r(A)≤1 e ad-bc=0
Quindi se r(CA) = r([A|b]) = m, m-n = 0 non ci sono variabili libere quindi v0 è l'unica soluzione;
se n > m le sol. dipendono da n-m parametri e l'insieme delle sol. ha la param.
Rn-m → sol(Ax = b)
- è suriettina perché è costruzione ogni sol ha la forma
- t1 + t2 + ... + tn-m
- è iniett.
Questo è vero perché C(t4,...,tn-m)
hanno una componente diversa da (t1,...,t'n-m)
Dim:
(1) A-1b è una sol di Ax = b:
A(CA-1)b = (AA-1)b = Ib = b
(c) è l'unica sol, supponiamo che ∀ sia una sol. Ax = b, devo mostrare
∀ = A-1bAx = b (moltiplicare per A-1 a sx):A-1(A) = A-1b⇒ ∀ = A-1b
Intuiamo: r(CA) = n ⇔ A è invertibile
Teor:Sia A una matrice m×n le seguenti condizioni su A sono equivalenti:
- r(A) = n
- Key(A) = {0n}
- A è invertibile
Dim:
(3) ⇔ (2) ⇔ (1) ⇔ (3)
Supponiamo A∀ = 0 e A invertibileA-1A∀ = A-10⇒ ∀ = 0
Da Rondi-Capelli r(CA) = n ⇔ Key(CA) = {0n} e l'insieme delle sol di Ax = 0 che è sempre la sol ∀ = 0 ed è tale ed è unica.
Devo trovare B m×n T.C. AB = I e BA = I
B = [b1|...|bm] per def di prodotto AB = [Ab1(A)b1...]...|Abn e I = [e1|...|en]; quindi AB = I ⇔ Abj = ej ∀j = 1, ...m, si è com e
r(CA) = n il sistema Ax = b ha unica sol b∈Rn
- Corollario:
Se A m x m ha:
- una riga nulla
- due righe uguali
- una riga che è comb. lineare delle altre
allora det(A)=0
→ Si può dim.:
det(A) = det(AT)
Conseguenza: tutto quanto visto per le righe vale anche per le colonne.
Relazione tra rango e determinante:
Si può calcolare il rango usando i determinanti delle sottomatrici quadrate M e il det di una sotto-matrice p x p di M.
Un minore det(B) di ordine p+1
Un minore det(A) ordine p
ordine A ⊆ B
- Teor. (Kronecker)
Sia M una matrice arbitraria.
- Se M ha rango r, allora M ha un ordine r non nullo, e tutti minori di ordine p > r sono nulli.
- Se M ha un minore S ≠ 0 di ordine p e tutti i minori che ordino S sono nulli allora rτ(m)= p
- Slogan: il rango di M è il massimo ordine di minore non nulli.
pag. 292
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
