Analisi matematica 2, 3-11

Proprietà utili nel calcolo della trasformata di funzioni non elementari

α ](

f :¿ → C F( s)= L[f s)

Sia con ascissa di convergenza . Indichiamo con la sua

f

trasformata di Laplace. Allora valgono le seguenti proprietà:

1) Prima proprietà di traslazione

at (t)](s)=F ( +

L[ e f s−a) , per Re( s)>α Re(a)

f

2) Seconda proprietà di traslazione

−as

(t−a) (t−a)](s )=e (s ), (s )>

L[u f F per Re α f

u(t)

dove è la funzione gradino:

1 se t ≥ 0

u(t)={

0 se t< 0

3) Proprietà di cambio di scala

1 s

( ( ) (s)>

L[ f at)]( s)= F , per Re a⋅ α , a>0

f

a a n

4) Proprietà del prodotto per con n>0

t

n

d

n

−1 ¿ (s)

F , per Re(s)>α f

n

d s n (t)](

L[t f s)=¿

5)Proprietà della derivata n-esima (k) α

f n ¿

Se è derivabile -volte in e ha ascissa di convergenza per

(t )

f k

=0,1

k , … ,n−1 , allora:

+¿

¿

0 , per Re(s)>max {α0,…,αn−1}

n−1

∑

(n) (k)

n n−1−k

(t)]( (s )− ❑ ¿

L[ f s)=s F s f

k=0

6)Proprietà del valore iniziale e finale

Se i limiti esistono, allora:

Valore iniziale:

 +¿ (t)=lim (

t → 0 f ⁡ sF s)

s→∞

lim ⁡

¿

Valore finale:

 +¿ (

s →0 sF s)

(t )=lim

lim ⁡ f ⁡

¿

t →+∞

7)Proprietà dell’integrale

f

Se è continua, allora:

t (s)

F

∫ ❑ ( (s)>

L[ f x) dx](s)= , per Re α f

s

0

Trasformata di Laplace di alcune funzioni speciali

Esaminiamo tre casi tipici: funzioni periodiche, delta di Dirac, prodotto di

convoluzione.

1) Funzioni periodiche

(t)

f

Sia una funzione definita in , estesa a 0 fuori da questo intervallo. La

¿

0 f

funzione periodica generata da è:

0

+∞

∑

(t)= ❑ (t−nT )

f f 0

n=0

Allora: ](s )

L[f 0

](s)=

L[ f −sT

1−e

2) Delta di Dirac

1

(t)= (t)−u (t−ε )

f u

Poniamo . Tale funzione vale 1 nell’intervallo e 0

¿

ε ε

altrove. Inoltre:

+∞

∫ ❑ (t)

f dt=1

ε

−∞ (t)

f

Per , tende a una distribuzione detta delta di Dirac , che

(t)

ε → 0 δ

ε

soddisfa: per ogni

(t)=0 t≠ 0

δ

 +∞

∫ ❑ (t )

δ dt=1

 −∞

Per ogni funzione continua , si ha:

f : R → R

+∞

∫ ❑ (t )δ (t−t ) (t )

f dt=f

0 0

−∞

Quindi: −s t

)](s)=e

L[ δ(t−t 0

0

3) Prodotto di convoluzione

Siano . Il prodotto di convoluzione delle funzioni e ,

f , g :¿ →C f g

∗g

indicato con , è definito come:

f

t

∫

(f ∗g)(t)= ❑ (t−τ ) (τ )

f g dτ

0

La trasformata di Laplace del prodotto di convoluzione è:

∗g ](s)=L[f ](s )⋅

L[ f L[ g](s) ∗g=g∗f

� Il prodotto di convoluzione è commutativo: � La delta di Dirac

f

è l’elemento neutro del prodotto di convoluzione:

(t)

δ

(f∗δ)(t)=f(t)

Antitrasformata di Laplace

Nelle applicazioni, spesso è necessario individuare la funzione tale che la

(t)

f

sua trasformata di Laplace sia una funzione assegnata .

F( s)

−1

L'antitrasformata realizza questa corrispondenza:

L

−1

(t)=L [

f F(s)]

Teorema 1 αt

∈

>

Sia . Siano e tali che per ogni .

]( M 0 α R t ≥ 0

F( s)= L[f s) ∣ (t )∣≤

f M e

∈C

Allora è una funzione olomorfa nel semipiano . Inoltre,

{s )> }

F(s) : Re(s α

se è continua in , allora:

f ¿

a+iR

1 ∫ st

(t)= ❑ (s)

f lim ⁡ F e ds

2 πi R →+∞ a−iR

dove e l'integrale è detto integrale di Bromwich.

a> α