Analisi matematica 1 - Limiti di funzioni

SIA E

: (DI N

Raggio L'insieme

XO

DI :

(Xo

In(xo) r) ER

Xo

Xo +

· r

= Se

- , (Xo)

Ir

EXER 4

(x-xol

piccolo reda

è = :

ser · to

Sono vicino to

r(X tor Xo-r + r

- -

To

a Xo-r(XXotr

S (

* <r > X(Xotr

Xo =

-

X Xo)r() X) Xo-r

- Xo

Se +

=

(

In 0)

(r

20)

· Er ( 0)

+ +

= +

, es

ExeiR ?

grande

e xr

:

=

ser vicimo

sono

=

a to

Se -

= -

(

In(-0) r)

· 1 00)

In

0

= - -

, men

-1)

EXER

= : M

-

A R

DEFINIZIONE Sia Si Che

dice :

: A

I è

Xo Accumulazione

punto di

· e Se

un di

(Ir(xoll(vobln

fr 0

A

> =

o

, ↑ bucato

intorno

lu mend 7

Vorr Vo & r

+

Xo

A A

voe è Se

Isolato

· punto

un di

Exol

7 In nA

(xo)

ro : =

(0)0ooots

· 10 Xo

Xor + r

ESEMPIO

(03u(1 a)

A (

(

= tre

+

, 903

perce

a Ig10

è

to na

0 un di

punto isolato

: =

(qualunque) perché

= A

Xo Accumulazione

punto

1 un di

di

(Ir(xo)(Exob) (1

* 0)

rso e &

+

,

da a Fr

è perché

accumulazione

ma o

1 punto

Xo un di >

di

: (1

(Ir(Xo)(9x03) 21

1 + = 0

, Accumulazione

può di

sia

essere Isolato che

NOTA PUNTO Non

Un

: A

ESEMPIO

f(x) domf R(40

1

= = domf

E è

0

Xo un

Ma punto di accumulazione

=

en ade che quando si a

avvicina

fCXI

Y Ay di

valori avvicinano

si

i a

= +d

dire

matematici

termini

in posso

donf V 5830

Aso :

, 1903

5) f(xd

SeXo-5 A

=

0 >

+

, -

[g(0(1903 f(x) CIA( N)

->

* +

Siaf domf e e e

Re

DEFINIZIONE punto

Siano to

con

Xo

: : ,

domf

Di

-

DI ACCUMULAZIONI

=

Stende A l Tende

Si per

che

dice che Yo

X a

SCRIVO

E f(x)

lin e

=

Xo

X

VIntorno e 5

E Intorno

Se di di Xo

un :

, f(x)ev

((((x03)ndamf =

x

OSSERVAZIONE :

Vo NECESSARIAMENTE DOMINIO

APPARTENERE AL

NON Deve

· è (ho perche

Xo)

L'INTORNO Xo bucato Non sono

· di tolto f(x)

E E CON

INTERESSATA A Xo

YO VICINO

MA

CON

CONFRONTARE A

VALORI

Si

Casi espUCITA

refinizione

particolari La Seconda Che

A

: I

El

XO

DI SIANO FINITI

: + 80 -8

%

:

ESEMPI

1) l

ER

Xo +

e 0

=

(X0 8) 830

6

Ig(x0)

- X0

>

- +

= - , Vo

Di

INTORNO

(A 5)

a)

-[x( As0

# + +

= , DI

INTORNO S

limf(x) + a

=

Vo

1 - VE e E to

L Intorno Di

le

INTORNO Di :

,

domf f(x)e

Flexon

* =

V A30 5830

c) :

, +

511540] dom

+ e

Ig(Xo))[x0}

X

L'ESEMPIO

RIPRENDENDO A :

f(x)

My

Sit f(x) EX

= + 0

=

Xo 0

=

C + 2

= Ax =

donf =

- a

S :

6

I =

lim 550 E

< Ao La DEFINIZIONE

=+ , C PRENDERE

VERA BASTA

,

S)1503A

10-6 8 1

0

x + =

, A

f(x)

LIMITI

TEOREMI SUI

ENUNCIATI SEGUONO

WEGLI CHE :

fe

dom

f IRR C R di Accumulazione

Xo punto

Lo

: e e

, ,

f

dom

PER

TEOREMA PERMANENZA SEGNO

DI DI (anche

lim f(x) Ol

e so

Se esiste

Ipotesi : +

=

Xo

X - f(x) YxeIr(xollEXo]

7

ALLORA +30

TESI :

: bucato

informo

>

-

LO

ENUNCIATO ANALOGO Se Exob)

Ir(xd

f(xico

Colo 5 rs0

= : in

È PERCHE

OSSERVAZIONE BUCATO DEFINIZIONE

L'INTORNO LA DI

: FIN

INFORMAZIONI SU VO

FORNISCE

NON

LIMITE #(8)

ESEMPIO 1

[X 2

y =

f(x) = ----

(

--

f(x)

Lim =o >

↑

2

-

·

f(0) -20

MA = POTRA DI

QUINDI INTORNO

ESISTERE X 0 NON BUCATO

UN

NON =

f(x)

cul

In 0

> TEOREMA

DIMOSTRAZIONE

e limf(x)

7 e

Finito Ipotesi

O 0

>

: =

Vo #

X- Is (2)

f

dom

80 f(x)

(I)f20 Exo]

Ig(xo) E

ve e

:

zu #

S(E)

S = +l

f(x)

e 2 2

< +

-

fixico Evol

ExeIn(d

Jrso

Tesi :

: (1)

esempio)

(ad

e

E

fisso ottengo che

e

in

= dome f

5) exo}

Ig(0)

S(e)

S =

x n

:

= f(x) (e)

[e

= =

oce-ef(x)(1 2

+ J

CUI SEGUE

DA TESI CON

La V = f(x)

l 7 lim

0 potesi +

+

= : =

xex f(x)

Ve lg(VollEXoY

5830

↑ la ltdd)

Aso = -

: #

f(x) a)

(A

= +

,

#

f(x))A

SEMPLICEMENTE

SEGUE

TESI

La (ad esempio) A =

Fissando 1

=

f(A) 6(1)

n =

= --- CIO

PUÒ

OSSERVAZIONE COMPLETAMENTE

Il INVERTRE

TEOREMA NON SI

: :

[Xob

(Xol

f(x130 e

-

In

In > 0

ESEMPIO -

f(x) ExeR

exo ex

y

=

· =

MA

lim ex 0 o

>

= >

* - N

- 1

VER g(x)

y =

E

=

g(x

· &

XXeR limg( >

g(x))0 o

Ma =

È L'IMPLICAZIONE

VERA INCECE : la disuguaglianza

prendo

L

f(x) In(xollEXob A

IN 10

> stretta

0 f(x) incluso

il

COROLLARIO è

caso o

&

f(x) f(x)

lime EXoY

e In(Xo

Se PER

=0

Esiste CERTA

in UNA

=

=

XXo Indomf)

Ca 0

Allora

ro , (220)

f(x) 0

=

ENUNCIATO Se

Analogo

IPOTESI

DIMOSTRAZIONE TESI

: f(x) Exo}

In(xo) 220

= IN

0

f(x)

im

7 2

=

X-X0 EL

ASSURDO

PER PERMANENZA

O PER

ALESSI

SE TOREMA

ALLORA DI

IL

,

, S f(x)

Sa (VollEXoy

Jo

Segno >

Di Che In

Tale <O

O

PER

MA IPOTESI f(x)20 (Xol(Xo]

In

IN

eY

miner fixio XxeIf(volete

f(xizo

f

fisso avró

ora se che e

= ,

, È ASSURDO

Che

SEMPRE SFRUTTANDO DIMOSTRANO

DEFINIZIONE

LA DI SI

LIMITE :

LIMITE

TEOREMA DEL

UNICITÀ

DI

lim fixi e

se esiste è

tale unico

limite

= ,

-Xo

x

idea-dimostrazione 1

Se ALESSI letto

22

Cs f(x)

+ y

Cy I =

~

"PICCOLO"

PER E 22-2 - INON PUO

OTENGO UNA IN

STARE

21 2.

+ -

CONTRADDIZIONE f(x) ENTRAMBE E

- y

210 =

l

~ STRISCE

21 E -

- S

-

S

TEOREMA LIMITATEZZA LOCALE

DI

7 lim f(x) e (finito)

ER

Se Allora :

=

X-Xo Evob f

f(x) If (xo)

7 dom

XXE

e LIMITATA

aso a

: # f(x)

1 y =

-

(f(x) 2

-

50 C

=

: y C

=

# e

(c c)

f(x) -----,

= = ·

Xo C

y -

=

Cidea 1--)

definizione

la fissando

limite

di ad

, E

scrivo esempio

: =

MONOTONE

TEOREMA LIMITE FUNZIONI

(a

f b) =b accettabile)

(a R

Sia -a + a

: = =

, MONOTONA

FUNZIONA

UNA 1 1

e)

↑ (f)

+

fx a)

Allora ESISTONO LIMIT

I : f(x)-

limf(x) him

= E b

x -

E Val

se f inf fixi (finito -5)

è d

Crescente

· o

= b)

Xe (a ,

Supf(x) (FINITO 20

B +

o

= Xe(a b)

,

se f f(x)

è (FINITO 8)

decrescente

· Sup

d o +

= Xe(a b)

,

S (FNTOS

inf

B =

ESEMPIO

lim ex infe-x

o =

= XER

-

X N

+

. Y

(e- 00)

(0

IMMAGINE +

;

=

↓

infex o

=

R

XE

ex

ex

lim Sup

+ 0

= = E

*

X- x

- (CASO FINITO

CONFRONTO LIMITE

TOREMA DEL (volevo

h

fig tr

In

definite con che

tali

Siano in e

so :

,

,

f(xg(x)h(x) XXIn(d)EXo]

s (II) Ipotesi

, f(x)

lim lim h(x) CER

7

Allora SITROVA

Se CHE

= =

, X- Xo

TESI

lim

7 C

g(x) =

Xo

↓ - # 2)

( XIf(x)((x

-(10 Eg(x)((

5530 C

) =

: +

-

,

DIMOSTRAZIONE

(I) SIGNIFICA

582ESa

VE 0 < 0

> :

. imfe

L

KollExob f(x) sete

e-3

Is e

↓ <

- limh(x) e

:

L

f(x) (

[ (Xo)([Xo] e

e-E rexo

E

= < +

* -> f(3)

28 = Ese ry

.

8 Velo

Sa In (XdlExo

Fisso che

min Xe

tengo se

e

, ,

(Fg(xd) <In(Xo)) f(x)

f(x) l

e E

3< g(x) =

= < +

- -

↑ (I)

T

e

C-E(q(x) !

è

2 Che

+ Tesi

< la

1

ESEMPIO

Im sent e

X XXX 0

CRITos g(x))

g(x) (g(x)

semx = Part

q

X =

= X -Ot

è sufficiente studiare

= Limite Infatti

il X

Lim

lim senx semx

=

+

X- 0 X X

-

X90

semtanxx

Fatto : tamx

1 y = X

!

/ y = ·

un

un

My :

sen I

= x

/2 Semx11

cosXI X

PASSO AL

lim Cos CONFRONTO

TEOREMA DEL

-

+

Xx0 I

= In

-

2

ESEMPIO

*

lie e M(x) =

X D

- + 121)11Il funzione

funzione

M(X) [x] OM(X11

X

= - D

%

mantissa limitata

M(x) < 1

&

* e t

e M(x) 1

0 = < .

~ -

X1 x2

+ 8 0

+

· +

lim é M(x) 0

TEOREMA CONFRONTO

DEL A =

X- + 8

è Particolare

sopra Di

Caso

L'ESEMPIO un :

INFINITESIMA)

(LIMITATA

COROLLARIO PER

e fLIMITATA (Xo)IEXo]

In

Xo Sia

Sia E IN [