Tracce d'esame svolte di Geometria ed algebra lineare (Parte 1)

TRACCIA APPELLO 21/01/2013

f: R³ → R⁴ applicazione lineare definita da f(u,v,t)=(u+2v, u-2v, u+2y, 4y+t). Determinare le dimensioni di Imf e Kerf. Stabilire se f è surgettiva e/o iniettiva. Posto H={ (u,y,t)∈R³ | u-t=0, y-2t=0 } determinare base e dimensione di Kerf∩H e Imf∩H. Stabilendo se R⁴ é somma diretta dei Imf e H.

Per Kerf:

• f(u,v,y,t) = (0,0,0,0) ↔

Sistema trovato

• u+2y=0
• u-2y=0
• u+2y=0
• 4y+t=0

Matrice aumentata:

A=

• | -1 2 0 |
• | 1 2 0 |
• | 1 2 0 |
• | 0 4 0 |

|A₁₂( 2 0 1 )| = 0

Ora per base ^Imfì A=3

• =0
• =(-4

Kerf:{(0,0,0)}

→ DimKerf=0

È iniettiva

Per lut:

A = ^{[ 7 1 0 ]}

  _{[-2 -1 2]}

  _{[0 0 1]}

θ₁ = | A^-1 | = |-4| ≠ 0

θ₂ = | A ⋅ |1 3| | = |-4| ≠ 0

        |2 4|

rk_A(A) = 3 → 3 vettori l. d.^r.

Bl _{un lut} = {(1, 1, 1, 0), (2, -2, 2, 4), (0, 0, 0, 1)}

d _{un lut} = 3

H = { (u, y, i, t) ∈ R⁴ | n - t = 0, y - 2t = 0 }

{

n - t = 0 m = 2

y - 2t = 0 n = 1

z = α t = β

{

n = β

y = 2β

→ H = {( β, 2β, d, β)}

(0, 0, 1, 0)

βH = {(0, 0, 1, 0), (1, 2, 0, 1)}

d _{un H} = 2

un lut + H = {(1, 1, 1, 0), (2, -2, 2, 4), (0, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 0), (1, 2, 0, 1), (0, 0, 1, 0), (1, 2, 0, 1) }

3) Date la matrice

dove h ∈ ℝ (0, 1, -2) è autovettore di A. Per h ≠ 2 stabilire se A è diagonalizzabile, se n scrivere Q che la diagonalizza. Stabilire per quale valore di h la matrice è invertibile e per h = -3 calcolarne l’inversa.

AX = λX

( 0 1 ) = λ ( 0 1 )

4 - 2h = 0

λ = 1

4 - 2h - 2 = -2 )

λ = -1

λ = 2

A ( ) → (λ - 1) ( )

λ = 1 molteplicità algebrica 2λ = 3 molteplicità algebrica 1

P(2,1,2)

ν: t t h

γy=3-6

τz=5-2t

δ: 2h+y-z+5=0

π(2,1,-1)

@ [[3-2,2-5,3-1-3]] ⇒ [-1/3,1/3,/3] // (-1,1/1,-1)

x: 2-6

y: 4+6

z: 2-6

⇒ P(2,1,2)

f: n-2z=0

π(1,0/1-2)

α → (a,b,c). (-1,1,-1) = 0 → -a+b-c = 0 → e-3

β: ↪ 2n+3y+7z+8=0

x: 2-6

x: 2-6

^{2n+4+3(3)+(2)(1)+d+2=0}

4+3+2+d=0

d=-3

B)

₁ = |A ∙ (1,4)| = 0, ₂ = |A ∙ (1,3)| = |1 0 0||1 1 2||1 0 0| = 0

₁ = ₂ = 0

Rango (A|B) = rango (A) = 2 Il sistema è compatibile Il sistema ammette ∞^3-2 = ∞ soluzioni per R.C.z = d

{  u = z = d u + y = 2 - d }{  v = d y = 2 - 2d}

S = {(d, 2d + 2, d) d ∈ℝ}

Se k = -2

|A| = |1 0 -1| |1 -2 -1| |1 -2 -1| = 0

∃∞₂|v - u| ≠ 0rango (A) = 2

(A|B) = |1 0 -1 0||1 -2 -1 0||1 -2 -1 0|

₁ = |A ∙ (1,4)| = 0, ₂ = |A ∙ (1,3)| = 0₁ = ₂ = 0

Rango (A) = rango (A|B) = 2 Il sistema è compatibile per R.C.

{  u - y = 2 u + y = d}{  d - y - 4y = d u = d - y}y = 0

S = {(2, 0, d) d ∈ℝ}

4) Fissato un riferimento cartesiano R(0;1;4;7), considera i punti A(1;1;1) e B(-3;1;-1) e la retta s:

• Scrivere l’equazione della retta s passante per A e B
• Verificare che n ed s siano paralleli e distinti, determinare l’equazione del piano che li contiene e calcolare la distanza d(n,s)
• Calcolare le coordinate del punto P simmetrico a P(-2,4,1) rispetto alla retta s.
• Determinare l’equazione cartesiana del piano π contenente n e perpendicolare al piano π:2n+y+z-5=0

w = (B-A)= (-3;1;-1)-(1;1;1)=(-4;0;-2)/ (4;2;2)

{n-1}1/4={y-1}1/2

{y-1}2={z-1}1/2

/ 2n-2-y+1=0 2n-y-1=0

y-z+1=0 y-z=0

n{n-2y=0 y-z+1=0

2n-y-1=0

y-z=0

C(0,1,1)

D(0,-1,-1)