Testo soluzioni Fisica 2 di gennaio 2024

E⃗

-. /

( ) (1 )

= ∙ I = − − 1)( = − = − 1T

S (5)

& ! & !

& ! !

Analogamente, sulla superficie esterna del dielettrico:

1

E⃗

-/ .

( ) (

= ∙ I = − 1)( = − 1) = −

S1 T (6)

& ! & !

& ! !

c) Essendo la distribuzione infinita, fisso un punto nello spazio a distanza finita come riferimento, ovvero

&

)

( = 0. .

Per trovare il potenziale in un generico punto di coordinata

& )

> = 0), ≤ ≤ ,

Ponendo come riferimento un punto a distanza finita (( per si ha:

& &

! 0 !

! !

EEE⃗

E⃗

( ) () ()

≤ ≤ ) = () − ( = G ∙ = G + G

)) & )) )))

! ! 0 (7)

0 !

1

! &

=G + G = V + W

& ! & & !

! 0 12 " 0 4

() ()

< , = = X + Y.

Per essendo il conduttore equipotenziale, ) )) 3 3 2 0

! "

> ,

Per si ha: ! ! !

! ! ! &

EEE⃗

E⃗

( ) ()

> ) = () − ( = G ∙ = G = G = X Y (8)

))) & ))) )))

& &

! ! ! = 0,

In alternativa, se pongo il riferimento all’interno del conduttore, ovvero in si ha:

&

( ()

≤ ) = () − (0) = 0 ⇔ = (0) = 0 (9)

) )

≤ ≤ ,

Per allora: & & 2 1

EEE⃗

E⃗

(

< ≤ ) = () − (0) = G ∙ = G () = G = − V W (10)

))

& ! & !

! ! !

> :

Per & & 2 0

EEE⃗

E⃗

( () () ()

> ) = () − (0) = G ∙ = G + G + G

))) ) )) )))

! 2 0 ! (11)

2 0

1

=G + G = − V + W

& ! & & !

0 ! 2

Esercizio 2 E⃗

,

a) Per calcolare il campo di induzione magnetica nel punto utilizziamo la legge di Biot-Savart:

⃗

× ⃗

&

E⃗ (12)

= |⃗|

'

4 dl⃗ ∥ Δr⃗

Nei tratti radiali si ha , quindi il loro contributo al campo totale sarà nullo.

dl⃗ ⊥ Δr⃗ Δ =

Al contrario, per gli archi di circonferenza si ha e dove è il raggio di curvatura dei due archi.

Si ha, quindi:

& (13)

=

#

4

= = .

Con e

Integrando, si ha: #7.8 #7.8

1 1

& &

5

() = G = gG − G i

4( )

5 # # #

4

6 & &

#7.8 #7.8

1 1 2 − 2 −

& & (14)

= gG − G i = −

S T

4 4

& &

1 1

& (2

= − ) −

S T

4

E⃗ ()

Il vettore avrà verso uscente dal foglio.

b) Per calcolare il coefficiente di mutua induzione, considero la seguente:

E⃗

Φ = G ∙ I = (15)

#" " #" "

*

# E⃗

Φ = ,

Dove è il flusso del campo la cui sorgente è la corrente ovvero la corrente che scorre nel circuito

#" " "

E⃗

≪ ,

grande. Essendo posso considerare costante il campo su tutta la superficie della seconda spira .

" #

Quindi, l’Eq. (15) diventa:

E⃗ #

G ∙ I = () = () = (16)

" #

*

#

Ovvero: #

() 1 1

&

# (17)

(2

= = − ) −

S T

4

Esercizio 3

a) Applico la legge di Ohm generalizzata al ramo passando per il generatore :

#

− + = ⟺ = = − = − (18)

9 : # 9: ;< 9 : #

:

Trovo

+

" # (19)

= 2

Quindi: + −

" # " # (20)

= = − =

;< 9: #

2 2

,

Mentre la resistenza equivalente, , è data dalla resistenza vista ai morsetti e ovvero il parallelo tra le

;

,

due resistenze in serie con la terza resistenza quindi:

3 (21)

= + = + =

;< ∥ 2 2

(),

b) Per trovare l’espressione di considero il circuito equivalente. Perciò: 3

(22)

− − =0

;< ;<

Mediante risoluzione per separazione delle variabili, si ha:

− = ⇔ = ⟺ = (23)

;< ;< − −

;< ;< >

Integrando otteniamo:

, <(,)

() − ,

> . (24)

G = −G ⟺ = − ⟺ () − = − A

> >

− −

> >

& &

Ovvero: ()

, ., ,

>

. . (25)

() = − ⇔ () = = =

S1 T

A A A

> &

c) A regime posso considerare il circuito costituito dalla sola maglia contenete i due generatori. Sul condensatore

= ,

sarà presente una carica quindi

> ;<

1 # #

# # #

( ) )

1 1 − ( −

;<

2 (26)

> " # " #

= = = =

B 2 C 2 4 8

Mentre l’energia dissipata dalla resistenza sul ramo del condensatore (considero il circuito di partenza)

durante il transitorio è data dalla seguente:

/> /> /> # &# />

2

, .#,

.

#

= G = G = G = − G −

S T

A A

C D & 2

& & & & (27)

/>

# #

#,

& &

.

=− V W =

A

2 2

&

Esercizio 4

a) Per calcolare la fem indotta nel circuito partiamo dalla Forza di Lorentz che agisce sulle cariche presenti sulla

barretta in movimento:

⃗ E⃗ (28)

= ⃗() × ⟺ = ()

E E ,

Quindi integrando lungo il tratto si ha:

⃗

E

⃗ ⃗

E⃗ (29)

= − G ∙ = − G ∙ = − G () = −()

(

E E E

Mentre la corrente sarà data dalla seguente:

()

( (30)

() = = −

()

b) Per effetto della corrente che scorre, la barretta sarà soggetta ad una forza che sarà data dalla seguente:

()⃗ ()u

⃗ E⃗ (31)

= × =

E

u ⃗

Con versore della direzione di spostamento della barretta (scelto concorde alla velocità iniziale ). La forza

&

totale che agisce sulla barretta è:

# #

()

()u u

⃗ (32)

= G = −

E

E −u

Il segno negativo indica che la forza sarà frenante essendo orientata nel verso di . Studiando la dinamica

del sistema, si ha:

# # # # # #

() () () () ()

u u

⃗ (33)

= − = ⃗ = ⟺ − = ⟺− =

E ()

Integrando: 4